三角関数の問題

方針：$\cos 2x$ を $\sin x$ で表し、方程式を $\sin x$ だけの 2 次方程式に直します。

手順 1：2 倍角の公式で書き直す

2 倍角の公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ を使うと、方程式は
$$1-2{\sin }^{2}x+\sin x=0$$
となります。両辺に $-1$ を掛けて整理すると
$$2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0$$

手順 2：$t=\sin x$ とおいて 2 次方程式を解く

$t=\sin x$ とおきます。$0\leqq x<2\pi$ より $-1\leqq t\leqq 1$ です。方程式は
$$2t^2-t-1=0$$
左辺を因数分解すると
$$(2t+1)(t-1)=0$$
よって $t=-\frac{1}{2},1$ です。どちらも $-1\leqq t\leqq 1$ を満たします。

手順 3：$x$ にもどす

• $\sin x=1$ のとき、$0\leqq x<2\pi$ で $x=\frac{\pi }{2}$
• $\sin x=-\frac{1}{2}$ のとき、単位円で $y$ 座標が $-\frac{1}{2}$ となる点を考えて、$x=\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi$

確かめ：たとえば $x=\frac{7}{6}\pi$ のとき、$\cos \frac{7}{3}\pi =\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$、$\sin \frac{7}{6}\pi =-\frac{1}{2}$ で、和は $0$ になります。

以上より、求める解は
$$x=\frac{\pi }{2},\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi$$

$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ より、$1-2{\sin }^{2}x+\sin x=0$。$t=\sin x$ とおくと $2t^2-t-1=0$、$(2t+1)(t-1)=0$ なので $t=1$ または $t=-\frac{1}{2}$。

$\sin x=1$ のとき、$0\leqq x<2\pi$ では $x=\frac{\pi }{2}$。

$\sin x=-\frac{1}{2}$ のとき、$x=\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$。

検算：$x=\frac{\pi }{2}$ では $\cos \pi +\sin \frac{\pi }{2}=-1+1=0$。$x=\frac{7\pi }{6}$ では $\cos \frac{7\pi }{3}+\sin \frac{7\pi }{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$。$x=\frac{11\pi }{6}$ では $\cos \frac{11\pi }{3}+\sin \frac{11\pi }{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$。いずれも成り立つ。

よって $x=\frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$。