三角関数の問題

$\angle B=B,\angle C=C$ とおく。$A=\frac{\pi }{3}$ より $B=\frac{2}{3}\pi -C$ である。

$C$ の範囲　三角形 $\mathrm{ABC}$ は鋭角三角形なので $0<C<\frac{\pi }{2}$ かつ $0<B<\frac{\pi }{2}$ である。$B=\frac{2}{3}\pi -C<\frac{\pi }{2}$ より $C>\frac{\pi }{6}$。よって
$$\frac{\pi }{6}<C<\frac{\pi }{2}$$
であり、逆にこの範囲の $C$ に対して $A,B,C$ はすべて鋭角になる。

辺を角で表す　外接円の半径が $1$ なので、正弦定理より
$$\mathrm{AB}=2\sin C,\mathrm{AC}=2\sin B=2\sin \left(\frac{2}{3}\pi -C\right)$$
である。加法定理より
$$\sin \left(\frac{2}{3}\pi -C\right)=\sin \frac{2}{3}\pi \cos C-\cos \frac{2}{3}\pi \sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos C+\frac{1}{2}\sin C$$
なので
$$\mathrm{AB}+2\mathrm{AC}=2\sin C+4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos C+\frac{1}{2}\sin C\right)=4\sin C+2\sqrt{3}\cos C$$

合成　$\sqrt{4^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ であるから、
$$\cos \phi =\frac{4}{2\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}},\sin \phi =\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\left(0<\phi <\frac{\pi }{2}\right)$$
を満たす角 $\phi$ を用いて
$$f(C)=\mathrm{AB}+2\mathrm{AC}=2\sqrt{7}\sin (C+\phi )$$
と表せる。

$\tan \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}<\sqrt{3}$ より $0<\phi <\frac{\pi }{3}$ である。$C$ の範囲から
$$\frac{\pi }{6}+\phi <C+\phi <\frac{\pi }{2}+\phi$$
であり、$\frac{\pi }{6}+\phi <\frac{\pi }{2}<\frac{\pi }{2}+\phi$ なので、$C+\phi =\frac{\pi }{2}$ となる $C$（$C=\frac{\pi }{2}-\phi$）はこの範囲に含まれる。

• $C+\phi$ が $\frac{\pi }{6}+\phi$ から $\frac{\pi }{2}$ まで増えるとき、$\sin (C+\phi )$ は増加する。
• $C+\phi$ が $\frac{\pi }{2}$ から $\frac{\pi }{2}+\phi$ まで増えるとき、$\sin (C+\phi )$ は減少する。

したがって $f(C)$ は $C=\frac{\pi }{2}-\phi$ で最大値 $2\sqrt{7}$ をとる。

端の値（端は含まれない）
$$f\left(\frac{\pi }{6}\right)=4\cdot \frac{1}{2}+2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2+3=5,f\left(\frac{\pi }{2}\right)=4\cdot 1+2\sqrt{3}\cdot 0=4$$

よって、$\frac{\pi }{6}<C\leqq \frac{\pi }{2}-\phi$ では $f(C)$ は $5<f(C)\leqq 2\sqrt{7}$ の値をすべてとり、$\frac{\pi }{2}-\phi \leqq C<\frac{\pi }{2}$ では $4<f(C)\leqq 2\sqrt{7}$ の値をすべてとる（$2\sqrt{7}=\sqrt{28}>5$ に注意）。これらを合わせて、求める範囲は
$$4<\mathrm{AB}+2\mathrm{AC}\leqq 2\sqrt{7}$$

外接円の半径 $R=1$ なので、正弦定理より $\mathrm{AB}=2\sin C$, $\mathrm{AC}=2\sin B$。$B+C=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$ より $C=\frac{2\pi }{3}-B$。

鋭角三角形なので $0<B<\frac{\pi }{2}$ かつ $0<C<\frac{\pi }{2}$、すなわち $\frac{\pi }{6}<B<\frac{\pi }{2}$。

$\sin C=\sin \left(\frac{2\pi }{3}-B\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B$ なので
$\mathrm{AB}+2\mathrm{AC}=2\sin C+4\sin B=\sqrt{3}\cos B+\sin B+4\sin B=5\sin B+\sqrt{3}\cos B$。

三角関数の合成より $f(B)=5\sin B+\sqrt{3}\cos B=2\sqrt{7}\sin (B+\alpha )$（$\cos \alpha =\frac{5}{2\sqrt{7}}$, $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$, $0<\alpha <\frac{\pi }{6}$ 付近で、$\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{5}$）。

$f^{\prime }(B)=5\cos B-\sqrt{3}\sin B=0$ となるのは $\tan B=\frac{5}{\sqrt{3}}$ のときで、この $B$ は $\frac{\pi }{6}<B<\frac{\pi }{2}$ に含まれる（$\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}<\frac{5}{\sqrt{3}}$）。ここで $f$ は増加から減少に変わり、最大値 $2\sqrt{7}$ をとる。（このとき $\sin B=\frac{5}{2\sqrt{7}}$, $\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$ で $5\cdot \frac{5}{2\sqrt{7}}+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{28}{2\sqrt{7}}=2\sqrt{7}$。）

端点の値（どちらも $B$ の範囲に含まれない）:
- $B\to \frac{\pi }{6}$: $f=5\cdot \frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=4$
- $B\to \frac{\pi }{2}$: $f=5$

増加区間では値は $4$ から $2\sqrt{7}$ まで、減少区間では $2\sqrt{7}$ から $5$ まで動く。$4<5<2\sqrt{7}$（$2\sqrt{7}=\sqrt{28}>5$）なので、全体の値域は $4<f\leqq 2\sqrt{7}$。

確認: $B=\frac{\pi }{3}$（正三角形）のとき $f=5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=3\sqrt{3}\approx 5.196$ で、$4<5.196\leqq 5.292$ に入る。

よって $4<\mathrm{AB}+2\mathrm{AC}\leqq 2\sqrt{7}$。