三角関数の問題

半径 $r$、中心角 $\theta$ の扇形の弧の長さは $r\theta$、面積は $\frac{1}{2}{r}^2\theta$ である。

周の長さが $12$ であるから
$$2r+r\theta =12\cdots (1)$$
よって $r\theta =12-2r$ である。$r\theta >0$ より $0<r<6$。

面積を $S$ とすると、$(1)$ を用いて
$$S=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}r\cdot r\theta =\frac{1}{2}r(12-2r)=r(6-r)$$
$S\geqq 8$ より
$$r(6-r)\geqq 8⟺r^2-6r+8\leqq 0⟺(r-2)(r-4)\leqq 0$$
よって $2\leqq r\leqq 4$（これは $0<r<6$ を満たす）。

一方、$(1)$ より
$$\theta =\frac{12-2r}{r}=\frac{12}{r}-2$$
であり、$\theta$ は $r$ について減少する。
- $r=2$ のとき $\theta =6-2=4$
- $r=4$ のとき $\theta =3-2=1$

したがって $2\leqq r\leqq 4$ に対応する $\theta$ の範囲は $1\leqq \theta \leqq 4$ である。$4<2\pi$ なので、条件 $0<\theta <2\pi$ も満たしている。

逆に、$1\leqq \theta \leqq 4$ のとき $r=\frac{12}{\theta +2}$ と定めれば $2\leqq r\leqq 4$ となり、面積は $8$ 以上になる。

よって求める範囲は $1\leqq \theta \leqq 4$ である。

周の長さは $2r+r\theta =12$ なので $r=\frac{12}{\theta +2}$。面積は $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{72\theta }{(\theta +2{)}^2}$。$S\geqq 8$ より $72\theta \geqq 8(\theta +2{)}^2$、すなわち $9\theta \geqq (\theta +2{)}^2$。整理して ${\theta }^2-5\theta +4\leqq 0$、$(\theta -1)(\theta -4)\leqq 0$ より $1\leqq \theta \leqq 4$。これは $0<\theta <2\pi$ を満たす（$4<2\pi$）。検算: $\theta =1$ のとき $r=4$、$S=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 1=8$。$\theta =4$ のとき $r=2$、$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$。$\theta =2$ のとき $r=3$、$S=9\geqq 8$。よって $1\leqq \theta \leqq 4$。