三角関数の問題

直線 $y=x$ に関する対称移動

角 $\alpha$ の動径上で $\mathrm{O}$ からの距離が $1$ の点は $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ である。これを直線 $y=x$ に関して対称移動すると、$x$ 座標と $y$ 座標が入れかわり、点 $(\sin \alpha ,\cos \alpha )$ になる。

$$\sin \alpha =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right),\cos \alpha =\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$$

なので、この点は角 $\frac{\pi }{2}-\alpha$ の動径上にある。つまり、角 $\alpha$ の動径を直線 $y=x$ に関して対称移動すると、角 $\frac{\pi }{2}-\alpha$ の動径になる。

条件を式にする

角 $5\theta$ の動径が角 $\frac{\pi }{2}-\theta$ の動径と一致すればよい。2 つの動径が一致するのは、角の差が $2\pi$ の整数倍のときである。よって、ある整数 $n$ を用いて

$$5\theta =\frac{\pi }{2}-\theta +2n\pi$$

と表せる。これを整理すると

$$6\theta =\frac{\pi }{2}+2n\pi ,\theta =\frac{\pi }{12}+\frac{n\pi }{3}$$

範囲から $n$ を決める

$0\leqq \theta <2\pi$ より

$$0\leqq \frac{\pi }{12}+\frac{n\pi }{3}<2\pi$$

各辺を $\frac{12}{\pi }$ 倍すると $0\leqq 1+4n<24$ となり、$-\frac{1}{4}\leqq n<\frac{23}{4}$ を得る。$n$ は整数なので $n=0,1,2,3,4,5$ である。それぞれ代入すると

• $n=0$ のとき $\theta =\frac{\pi }{12}$
• $n=1$ のとき $\theta =\frac{5}{12}\pi$
• $n=2$ のとき $\theta =\frac{9}{12}\pi =\frac{3}{4}\pi$
• $n=3$ のとき $\theta =\frac{13}{12}\pi$
• $n=4$ のとき $\theta =\frac{17}{12}\pi$
• $n=5$ のとき $\theta =\frac{21}{12}\pi =\frac{7}{4}\pi$

確認

$\theta =\frac{3}{4}\pi$ のとき、$5\theta =\frac{15}{4}\pi =-\frac{\pi }{4}+4\pi$ である。一方、$\frac{\pi }{2}-\frac{3}{4}\pi =-\frac{\pi }{4}$ なので、2 つの動径は確かに一致する。

答え

$$\theta =\frac{\pi }{12},\frac{5}{12}\pi ,\frac{3}{4}\pi ,\frac{13}{12}\pi ,\frac{17}{12}\pi ,\frac{7}{4}\pi$$

角 $\theta$ の動径と直線 $y=x$ に関して対称な動径の角は $\frac{\pi }{2}-\theta$ である（mod $2\pi$）。よって整数 $k$ を用いて $5\theta =\frac{\pi }{2}-\theta +2k\pi$ と書ける。したがって $6\theta =\frac{\pi }{2}+2k\pi$ より $\theta =\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$ である。$0\leqq \theta <2\pi$ より $k=0,1,2,3,4,5$ となり、$\theta =\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12},\frac{3\pi }{4},\frac{13\pi }{12},\frac{17\pi }{12},\frac{7\pi }{4}$ を得る。検算：$\theta =\frac{\pi }{12}$ のとき $5\theta =\frac{5\pi }{12}$、$\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{12}=\frac{5\pi }{12}$ で一致する。$\theta =\frac{7\pi }{4}$ のとき $5\theta =\frac{35\pi }{4}\equiv \frac{3\pi }{4}$、$\frac{\pi }{2}-\frac{7\pi }{4}=-\frac{5\pi }{4}\equiv \frac{3\pi }{4}$ で一致する。