動径の一般角と対称な動径

角 $θ$ の動径を $x$ 軸・ $y$ 軸・原点・直線 $y = x$ に関して対称移動した動径の角を $- θ$ , $π - θ$ , $π + θ$ , $\frac{π}{2} - θ$ （いずれも $+ 2 nπ$ ）と表せる。「角 $5 θ$ の動径が角 $θ$ の動径と $y = x$ に関して対称」のような条件を $5 θ = \frac{π}{2} - θ + 2 nπ$ と式にして、 $0 ≦ θ < 2 π$ の $θ$ をすべて求められる

前提

弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

角 $θ$ の動径を $x$ 軸・ $y$ 軸・原点・直線 $y = x$ に関して対称移動すると、移した動径の角は $- θ$ , $π - θ$ , $π + θ$ , $\frac{π}{2} - θ$ と表せます（いずれも $2 nπ$ を足してよい）。これを使うと、「角 $5 θ$ の動径が角 $θ$ の動径と $y = x$ に関して対称」のような図形の条件を、 $θ$ の 1 次方程式に書き直せます。その方程式を解いて、 $0 ≦ θ < 2 π$ などの範囲にある $θ$ をすべて求めることができます。

なぜそうしてよいのか

まず、角が $2 π$ の整数倍だけ違っても動径は同じです（1 回転すると元の位置に戻るため）。したがって「角 $A$ の動径と角 $B$ の動径が一致する」ことは、「ある整数 $n$ で $A = B + 2 nπ$ となる」ことと同じです。 $n$ を書かないと、一致する場合の一部しか表せません。

次に、原点を通り、 $x$ 軸の正の向きから角 $α$ の方向にある直線に関して、角 $θ$ の動径を対称移動することを考えます。動径はこの直線から $θ - α$ だけ回った位置にあります。鏡に映すと回る向きが逆になるので、移した動径は直線から $- (θ - α)$ 回った位置、つまり角 $α - (θ - α) = 2 α - θ$ の位置に来ます。 $x$ 軸は $α = 0$ なので $- θ$ 、 $y$ 軸は $α = \frac{π}{2}$ なので $π - θ$ 、直線 $y = x$ は $α = \frac{π}{4}$ なので $\frac{π}{2} - θ$ です。

単位円で確かめることもできます。角 $θ$ の動径と単位円の交点は $(cos θ, sin θ)$ です。 $x$ 軸に関して対称な点 $(cos θ, - sin θ)$ は $(cos (- θ), sin (- θ))$ 、直線 $y = x$ に関して対称な点は $x$ 座標と $y$ 座標を入れかえた $(sin θ, cos θ)$ で、これは $(cos (\frac{π}{2} - θ), sin (\frac{π}{2} - θ))$ です。原点に関する対称移動は、原点のまわりに $π$ だけ回転することと同じなので、角は $π + θ$ になります。

手順

対称移動の種類に合わせて、角 $θ$ の動径を移した動径の角を書く。 $x$ 軸なら $- θ$ 、 $y$ 軸なら $π - θ$ 、原点なら $π + θ$ 、直線 $y = x$ なら $\frac{π}{2} - θ$ 。
「動径が一致する」という条件を、整数 $n$ を使って「(もう一方の角) $=$ (手順 1 の角) $+ 2 nπ$ 」という式にする。
その式を $θ$ について解き、 $θ = (定数) + (定数) \times n$ の形にする。両辺を割るときは $2 nπ$ の項も一緒に割る。
$n = 0, 1, 2, \dots$ （必要なら負の $n$ も）を順に代入し、指定された範囲（例えば $0 ≦ θ < 2 π$ ）に入る $θ$ をすべて書き出す。

例題

角 $5 θ$ の動径と角 $θ$ の動径が、直線 $y = x$ に関して対称であるとする。 $0 ≦ θ < 2 π$ のとき、 $θ$ の値をすべて求めよ。

例題の解答

手順 1：角 $θ$ の動径を直線 $y = x$ に関して対称移動した動径の角は $\frac{π}{2} - θ$ である。

手順 2：この動径が角 $5 θ$ の動径と一致するので、整数 $n$ を用いて $5 θ = \frac{π}{2} - θ + 2 nπ$ と表せる。

手順 3： $θ$ を左辺に集めると $6 θ = \frac{π}{2} + 2 nπ$ となる。両辺を 6 で割ると $θ = \frac{π}{12} + \frac{nπ}{3}$ である。

手順 4： $0 ≦ θ < 2 π$ を満たす $n$ を調べる。 $\frac{nπ}{3}$ は $n$ が 1 増えるごとに $\frac{π}{3}$ ずつ増える。 $n = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ のとき、 $θ = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{3 π}{4}, \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12}, \frac{7 π}{4}$ となる。 $n = 6$ のときは $θ = \frac{25 π}{12} ≧ 2 π$ となり範囲を外れる。 $n = - 1$ のときは $θ = - \frac{π}{4} < 0$ となり、これも範囲を外れる。

よって $θ = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{3 π}{4}, \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12}, \frac{7 π}{4}$ である。

答え: $\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{3 π}{4}, \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12}, \frac{7 π}{4}$

よくある誤り

$2 nπ$ を付けずに $5 θ = \frac{π}{2} - θ$ としてしまう誤り。この式からは $θ = \frac{π}{12}$ の 1 つしか出てこない。正しくは $5 θ = \frac{π}{2} - θ + 2 nπ$ として、動径が一致するすべての場合を表す。
両辺を割るときに $2 nπ$ の項を割り忘れ、 $θ = \frac{π}{12} + 2 nπ$ としてしまう誤り。正しくは $6 θ = \frac{π}{2} + 2 nπ$ の両辺を 6 で割って $θ = \frac{π}{12} + \frac{nπ}{3}$ とする。このとき、範囲 $0 ≦ θ < 2 π$ に 6 個の解がある。
$y$ 軸に関する対称移動を $- θ$ 、原点に関する対称移動を $- θ$ としてしまう誤り。 $- θ$ になるのは $x$ 軸に関する対称移動である。正しくは、 $y$ 軸なら $π - θ$ （点 $(cos θ, sin θ)$ が $(- cos θ, sin θ)$ に移る）、原点なら $π + θ$ （点が $(- cos θ, - sin θ)$ に移る）。
範囲の端を確かめずに $n = 6$ の $θ = \frac{25 π}{12}$ まで答えに入れてしまう誤り。正しくは、 $\frac{25 π}{12} ≧ 2 π$ なので $0 ≦ θ < 2 π$ に入らず、除く。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

動径の一般角と対称な動径

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