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三角関数の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学II 三角関数

$θ$ は $0 ≦ θ < 2 π$ を満たす実数とする。座標平面において、原点を中心とし $x$ 軸の正の部分を始線とする。次の $2$ つの条件をともに満たす $θ$ をすべて求めよ。

$(1)$ 角 $5 θ$ の動径は、角 $2 θ$ の動径と $y$ 軸に関して対称である。

$(2)$ 角 $3 θ$ の動径は第4象限にある（座標軸上にはない）。

この問題で使うもの

動径の一般角と対称な動径（説明と入口の問題）
弧度法と単位円による三角関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「動径が一致する」ことは「角の差が $2 π$ の整数倍である」ことと同じです。 $y$ 軸に関して対称な動径がどんな角で表されるかを考えましょう。

ヒント 2

角 $α$ の動径と $y$ 軸に関して対称な動径は、角 $π - α$ の動径です。よって条件 $(1)$ は $5 θ = π - 2 θ + 2 k π$ （ $k$ は整数）と表せます。

ヒント 3

条件 $(1)$ から $θ = \frac{( 2 k + 1 ) π}{7}$ （ $k = 0, 1, \dots, 6$ ）の $7$ 個の候補が得られます。それぞれについて $3 θ$ から $2 π$ の整数倍を引き、 $\frac{3 π}{2}$ より大きく $2 π$ より小さいかどうかを調べましょう。

答えと解説

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{\frac{9}{7} π, \frac{13}{7} π}

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解説を読む

条件 $(1)$ を式にする。

角 $α$ の動径上の点 $(cos α, sin α)$ を $y$ 軸に関して対称移動すると $(- cos α, sin α) = (cos (π - α), sin (π - α))$ となる。よって、角 $α$ の動径と $y$ 軸に関して対称な動径は、角 $π - α$ の動径である。

したがって条件 $(1)$ は、角 $5 θ$ と角 $π - 2 θ$ の動径が一致することと同値であり、
$5 θ = π - 2 θ + 2 k π (k は整数)$
すなわち
$7 θ = (2 k + 1) π, θ = \frac{( 2 k + 1 ) π}{7} .$
$0 ≦ θ < 2 π$ より $0 ≦ 2 k + 1 < 14$ なので $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ であり、
$θ = \frac{π}{7}, \frac{3 π}{7}, \frac{5 π}{7}, π, \frac{9 π}{7}, \frac{11 π}{7}, \frac{13 π}{7} .$

条件 $(2)$ を調べる。

$3 θ = \frac{3 ( 2 k + 1 ) π}{7}$ から $2 π$ の整数倍を引いて、 $0$ 以上 $2 π$ 未満の角に直す。 $2 π = \frac{14 π}{7}$ であり、第4象限は $\frac{3 π}{2} < φ < 2 π$ 、すなわち $\frac{10.5 π}{7} < φ < \frac{14 π}{7}$ に対応する。

$θ = \frac{π}{7}$ : $3 θ = \frac{3 π}{7}$ （第1象限）
$θ = \frac{3 π}{7}$ : $3 θ = \frac{9 π}{7}$ （第3象限）
$θ = \frac{5 π}{7}$ : $3 θ = \frac{15 π}{7} = 2 π + \frac{π}{7}$ （第1象限）
$θ = π$ : $3 θ = 3 π = 2 π + π$ （ $x$ 軸の負の部分上）
$θ = \frac{9 π}{7}$ : $3 θ = \frac{27 π}{7} = 2 π + \frac{13 π}{7}$ （第4象限）
$θ = \frac{11 π}{7}$ : $3 θ = \frac{33 π}{7} = 4 π + \frac{5 π}{7}$ （第2象限）
$θ = \frac{13 π}{7}$ : $3 θ = \frac{39 π}{7} = 4 π + \frac{11 π}{7}$ （第4象限）

よって条件 $(2)$ を満たすのは $θ = \frac{9 π}{7}, \frac{13 π}{7}$ である。

確認: $θ = \frac{9 π}{7}$ のとき、 $5 θ = \frac{45 π}{7} \equiv \frac{3 π}{7}$ 、 $π - 2 θ = π - \frac{18 π}{7} = - \frac{11 π}{7} \equiv \frac{3 π}{7}$ で一致する。 $θ = \frac{13 π}{7}$ のとき、 $5 θ = \frac{65 π}{7} \equiv \frac{9 π}{7}$ 、 $π - 2 θ = - \frac{19 π}{7} \equiv \frac{9 π}{7}$ で一致する（ $\equiv$ は $2 π$ の整数倍の差を除いて等しいことを表す）。

以上より、求める $θ$ は
$θ = \frac{9}{7} π, \frac{13}{7} π .$

別解

条件(1): 角 $5 θ$ と角 $2 θ$ の動径が $y$ 軸に関して対称である条件は、 $5 θ + 2 θ = π + 2 k π$ ( $k$ は整数) である。よって $θ = \frac{( 2 k + 1 ) π}{7}$ 。 $0 ≦ θ < 2 π$ より $k = 0, 1, \dots, 6$ 。

条件(2): $3 θ$ が第4象限にある条件は、 $3 θ \equiv mπ /7 (mod 2 π)$ とおくと $\frac{3}{2} π < \frac{mπ}{7} < 2 π$ 、すなわち $10.5 < m < 14$ である。 $m = 3 (2 k + 1) mod 14$ は奇数なので、 $m = 11$ または $13$ となる。

各 $k$ について $3 (2 k + 1) mod 14$ を計算する。
$k = 0$ : 3、 $k = 1$ : 9、 $k = 2$ : 1、 $k = 3$ : 7、 $k = 4$ : 13、 $k = 5$ : 5、 $k = 6$ : 11。

条件を満たすのは $k = 4, 6$ である。

検算: $θ = \frac{9 π}{7}$ のとき $3 θ = \frac{27 π}{7} \equiv \frac{13 π}{7}$ で第4象限。 $θ = \frac{13 π}{7}$ のとき $3 θ = \frac{39 π}{7} \equiv \frac{11 π}{7}$ で第4象限。どちらも $7 θ = 9 π, 13 π$ で奇数倍の $π$ になり、条件(1)を満たす。

答え: $θ = \frac{9 π}{7}, \frac{13 π}{7}$

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