三角関数の問題

角 $\alpha$ の動径上で原点からの距離が $1$ の点は $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ である。この点を直線 $y=x$ に関して対称移動すると $(\sin \alpha ,\cos \alpha )$ となり、
$$\sin \alpha =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right),\cos \alpha =\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$$
であるから、これは角 $\frac{\pi }{2}-\alpha$ の動径上の点である。よって、角 $\alpha$ の動径と直線 $y=x$ に関して対称な動径は、角 $\frac{\pi }{2}-\alpha$ の動径である。

したがって条件は、角 $4\theta$ の動径と角 $\frac{\pi }{2}-\theta$ の動径が一致することである。2 つの角の動径が一致するのは、角の差が $2\pi$ の整数倍のときだから、$n$ を整数として
$$4\theta =\frac{\pi }{2}-\theta +2n\pi$$
すなわち
$$5\theta =\frac{\pi }{2}+2n\pi ,\theta =\frac{\pi }{10}+\frac{2n\pi }{5}=\frac{(4n+1)\pi }{10}$$
$0\leqq \theta <2\pi$ より $0\leqq 4n+1<20$、つまり $-\frac{1}{4}\leqq n<\frac{19}{4}$ なので $n=0,1,2,3,4$。

それぞれ代入すると
$$\theta =\frac{\pi }{10},\frac{5\pi }{10}=\frac{\pi }{2},\frac{9}{10}\pi ,\frac{13}{10}\pi ,\frac{17}{10}\pi$$

(確認) 例えば $\theta =\frac{\pi }{2}$ のとき $4\theta =2\pi$ の動径は $x$ 軸の正の部分、$\theta$ の動径は $y$ 軸の正の部分で、確かに直線 $y=x$ に関して対称である。

答え: $\theta =\frac{\pi }{10},\frac{\pi }{2},\frac{9}{10}\pi ,\frac{13}{10}\pi ,\frac{17}{10}\pi$

直線 $y=x$ に関する対称移動で、角 $\alpha$ の動径は角 $\frac{\pi }{2}-\alpha$ の動径に移る。したがって条件は、整数 $k$ を用いて
$4\theta =\frac{\pi }{2}-\theta +2k\pi$
と表せる。これを整理すると $5\theta =\frac{\pi }{2}+2k\pi$ となり、
$\theta =\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$
を得る。
$0\leqq \theta <2\pi$ を満たすのは $k=0,1,2,3,4$ で、
$\theta =\frac{\pi }{10},\frac{\pi }{2},\frac{9\pi }{10},\frac{13\pi }{10},\frac{17\pi }{10}$
である。
検算として $\theta =\frac{\pi }{2}$ を考える。$4\theta =2\pi$ の動径は角 $0$ の方向で、$\theta$ の動径は角 $\frac{\pi }{2}$ の方向である。この2つは $y=x$ に関して対称なので条件を満たす。