三角関数の問題

手順1：対称な動径の角を式で表す

角 $\theta$ の動径を $y$ 軸に関して対称移動すると、角 $\pi -\theta$ の動径になります。動径は $2\pi$ ごとに同じ位置にくるので、一般角では $\pi -\theta +2n\pi$（$n$ は整数）と表せます。

手順2：条件を方程式にする

角 $3\theta$ の動径がこの動径と一致すればよいので、
$$3\theta =\pi -\theta +2n\pi (n\text{は整数})$$

手順3：$\theta$ について解く

$$4\theta =\pi +2n\pi$$
$$\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{n\pi }{2}$$

手順4：範囲 $0\leqq \theta <2\pi$ に入るものを選ぶ

$n=0,1,2,3$ のとき、それぞれ
$$\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$$
となります。$n=-1$ では $\theta =-\frac{\pi }{4}<0$、$n=4$ では $\theta =\frac{9\pi }{4}\geqq 2\pi$ なので、範囲に入るのは $n=0,1,2,3$ のときだけです。

（確認：$\theta =\frac{3\pi }{4}$ のとき、$3\theta =\frac{9\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi$ で、$\pi -\theta =\frac{\pi }{4}$ と同じ動径になっています。）

よって、求める $\theta$ は
$$\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$$

角 $\theta$ の動径を $y$ 軸に関して対称移動すると、角 $\pi -\theta$ の動径になる。
角 $3\theta$ の動径がこれと一致する条件は、整数 $k$ を用いて
$3\theta =\pi -\theta +2k\pi$
と書ける。よって $4\theta =\pi +2k\pi$ より $\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ となる。
$0\leqq \theta <2\pi$ の範囲では $k=0,1,2,3$ で、$\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$ である。
検算:
- $\theta =\pi /4$ のとき $3\theta =3\pi /4$。$\pi /4$ を $y$ 軸で対称移動すると $3\pi /4$ で一致する。
- $\theta =3\pi /4$ のとき $3\theta =9\pi /4\equiv \pi /4$。$3\pi /4$ の対称は $\pi /4$ で一致する。
- $\theta =5\pi /4$ のとき $3\theta =15\pi /4\equiv 7\pi /4$。$5\pi /4$ の対称は $-\pi /4\equiv 7\pi /4$ で一致する。
- $\theta =7\pi /4$ のとき $3\theta =21\pi /4\equiv 5\pi /4$。$7\pi /4$ の対称は $-3\pi /4\equiv 5\pi /4$ で一致する。