三角関数の問題

手順1: $y$ 軸に関して対称な動径の角を表す。
角 $\theta$ の動径を $y$ 軸に関して対称移動すると、角 $\pi -\theta$ の動径になります。動径は $2\pi$ 回るごとに同じ位置に戻るので、その角は一般に $\pi -\theta +2n\pi$（$n$ は整数）と表されます。

手順2: 条件を式にする。
角 $3\theta$ の動径がこれと一致すればよいので
$$3\theta =\pi -\theta +2n\pi (n\text{ は整数})$$
手順3: $\theta$ について解く。
$$4\theta =\pi +2n\pi \text{より}\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{n\pi }{2}$$
手順4: $0\leqq \theta <2\pi$ の範囲から選ぶ。
$n=0,1,2,3$ のとき、それぞれ
$$\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi$$
となります。$n=4$ では $\theta =\frac{9}{4}\pi \geqq 2\pi$、$n=-1$ では $\theta =-\frac{\pi }{4}<0$ となり、範囲に入りません。

（確認）$\theta =\frac{\pi }{4}$ のとき $3\theta =\frac{3}{4}\pi =\pi -\frac{\pi }{4}$ なので、確かに $y$ 軸に関して対称です。

よって、求める $\theta$ は $\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi$ です。

角 $\theta$ の動径を $y$ 軸に関して対称移動すると、その動径の表す角は $\pi -\theta$ である。したがって、角 $3\theta$ の動径が角 $\theta$ の動径と $y$ 軸に関して対称になる条件は、整数 $k$ を用いて
$3\theta =\pi -\theta +2k\pi$
と表せる。
これを整理すると $4\theta =\pi +2k\pi$ となり、$\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ を得る。
$0\leqq \theta <2\pi$ より $k=0,1,2,3$ で、$\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$ となる。
検算：
・$\theta =\pi /4$ のとき $3\theta =3\pi /4$。$\pi /4$ の $y$ 軸に関する対称は $3\pi /4$ で一致する。
・$\theta =3\pi /4$ のとき $3\theta =9\pi /4\equiv \pi /4$。$3\pi /4$ の対称は $\pi /4$ で一致する。
・$\theta =5\pi /4$ のとき $3\theta =15\pi /4\equiv 7\pi /4$。$5\pi /4$ の対称は $-\pi /4\equiv 7\pi /4$ で一致する。
・$\theta =7\pi /4$ のとき $3\theta =21\pi /4\equiv 5\pi /4$。$7\pi /4$ の対称は $-3\pi /4\equiv 5\pi /4$ で一致する。
以上より、すべて条件を満たす。