三角関数の問題
は を満たす実数とする。座標平面上で、原点 を中心とし 軸の正の部分を始線として、角 の動径と単位円 との交点を とする（）。12 個の点 からなる集合 （一致する点は 1 つの点とみなす）が 軸に関して対称となる、すなわち のどの点についても、その点の 軸に関する対称点がまた に属するような の個数を求めよ。
この問題で使うもの
- 弧度法と単位円による三角関数（説明と入口の問題）
- 動径の一般角と対称な動径（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（17 技能）
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ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
点 の 軸に関する対称点は角 の動径上にある。条件を「各 に対して となる と整数 がある」と書き直そう。
ヒント 2
この式から は有理数になる。（ と は互いに素）とおくと、 は偶数 でなければならず、条件は「 が の奇数倍」と同値になる。
ヒント 3
なら から に で割った余りがすべて現れるので、いつでも条件を満たす。 では の範囲にある の奇数倍は と しかないので、 や 、 などで がとれるか調べよう。
答えと解説
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解説を読む
角 の動径と単位円の交点 の 軸に関する対称点は であり、角 の動径と単位円の交点である。また、2 つの角の動径が一致するのは、角の差が の整数倍のときである。
よって条件は、次のように言い換えられる。
各 に対して、ある と整数 があって
が成り立つ。
手順 1： の形
が 1 つでも成り立てば は有理数である。そこで （ は正の整数、 は を満たす整数で、 と は互いに素。 のときは ）と表す。 を 1 つ決めると、このような の個数は のとき 以上 未満で と互いに素な整数の個数である。
このとき とおくと、 は
と同値である。
手順 2： は偶数で、 は の奇数倍
が奇数なら は奇数で の倍数になりえないから、 は成り立たない。よって は偶数で、（ は正の整数）とおく。 は と互いに素なので奇数で、 とも互いに素である。条件は が の倍数であることである。
このとき は の倍数で、 と は互いに素だから （ は正の整数）と書ける。すると が の倍数 が偶数 が奇数（ は奇数）。逆に が奇数なら条件は成り立つ。
したがって、 は「 が の奇数倍」と同値であり、 の値にはよらない。条件は
各 に対して、 が の奇数倍となる が存在する
ことである。
手順 3： の場合
なので、 の中には で割った余りが となる数がすべて含まれる。よって各 に対し、 となる （このとき は の奇数倍）が にとれる。ゆえに はすべて条件を満たす。
手順 4： の場合
であり、この範囲にある の奇数倍は と（ のとき） だけである。
- ： のとき または となり、 または で不適。
- ： のとき または となり、 または で不適。
- ： なので が必要。 で より 、 で より 。よって で、このとき がすべての に対して を満たすので条件を満たす。
よって で条件を満たすのは だけである。
手順 5：数える
各 について、 の個数（ 以上 未満で と互いに素な整数の個数）は
- ： 個、： 個、： 個、： 個、： 個、： 個（合計 個）
- ： 以上 以下の奇数のうち でないもので 個
これらの はすべて異なるので、求める個数は である。
別解
() とおくと、 の偏角は （周を 1 とした割合）。 軸に関する対称移動は偏角 を に移す。\n(1) が無理数のとき: は互いに異なる点で、対称なら各 にある が存在して 、すなわち は有理数となり矛盾。よって は有理数。\n(2) （既約、、 のときは ）とする。 の偏角は で、すべて の整数倍。 が奇数だと、点の対称点の偏角 は の整数倍にならず に属さないので不適。したがって は偶数（このとき は奇数）。\n の点の偏角を () とすると、対称移動は 。 と書くと、 が と互いに素で奇数であることから も奇数となり、（）。よって条件は「 が で不変」で、 によらない。\n・（偶数）のとき は 全体で自明に不変。 で、既約な の個数はオイラー関数 、計 。\n・ のとき は連続する 12 個の剰余で、像は も連続する 12 個。長さ の連続ブロックの始点は一意なので 、、。このとき は を自分自身に移す。 個。\n合計 。\n検算: （）は 4 点 で対称。 は で対称。, のとき と の偏角の和は で対称（）。