三角関数の問題

三角関数の合成を使います。$a\sin \theta +b\cos \theta$ では、座標平面上に点 $\mathrm{P}(a,b)$ をとり、$r=\mathrm{OP}=\sqrt{a^2+b^2}$、線分 $\mathrm{OP}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\alpha$ とします。すると $a=r\cos \alpha$、$b=r\sin \alpha$ となり、
$$a\sin \theta +b\cos \theta =r\sin (\theta +\alpha )$$
と表せます。

手順1：$a,b$ を読み取る。
$\sin \theta$ の係数は $a=1$、$\cos \theta$ の係数は $b=-\sqrt{3}$ です。

手順2：$r$ を求める。
$$r=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=2$$

手順3：$\alpha$ を求める。
$$\cos \alpha =\frac{a}{r}=\frac{1}{2},\sin \alpha =\frac{b}{r}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
を満たす角を求めます。点 $\mathrm{P}(1,-\sqrt{3})$ は第4象限にあります。$-\pi <\alpha \leqq \pi$ の範囲では $\alpha =-\frac{\pi }{3}$ です。

手順4：加法定理で確かめる。
$$2\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}-\cos \theta \sin \frac{\pi }{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}\sin \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta \right)=\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta$$
となり、もとの式に一致します。

よって
$$\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta =2\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)$$

$\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta =r\sin (\theta +\alpha )=r\cos \alpha \sin \theta +r\sin \alpha \cos \theta$ と係数を比べる。$r\cos \alpha =1$、$r\sin \alpha =-\sqrt{3}$。よって $r=\sqrt{1+3}=2$、$\cos \alpha =\frac{1}{2}$、$\sin \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$。$-\pi <\alpha \leqq \pi$ では $\alpha =-\frac{\pi }{3}$。したがって $2\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)$。検算：$\theta =0$ のとき、左辺は $-\sqrt{3}$、右辺は $2\sin (-\pi /3)=-\sqrt{3}$ で一致。$\theta =\pi /2$ のとき、左辺は $1$、右辺は $2\sin (\pi /6)=1$ で一致。