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三角関数の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学II 三角関数

$a, b, c, d$ は定数で、 $a > 0$ , $b > 0$ , $- π < c ≦ π$ とする。関数
$f (x) = a sin (b x + c) + d$
について、次のことがわかっている。

$f (x)$ の最大値は $5$ 、最小値は $- 1$ である。
$f (x)$ の正の周期のうち最小のものは $\frac{2}{3} π$ である。
$f (0) = 5$ である。

このとき、 $f (\frac{π}{4})$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

三角関数のグラフの拡大と平行移動（説明と入口の問題）
弧度法と単位円による三角関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

最大値・最小値から $a$ と $d$ を、周期から $b$ を、 $f (0)$ の値から $c$ を順に決めましょう。

ヒント 2

$a > 0$ なので、最大値は $a + d$ 、最小値は $- a + d$ です。また $y = sin (b x + c)$ の周期は $\frac{2 π}{b}$ です。

ヒント 3

$a = 3, d = 2, b = 3$ となります。 $f (0) = 5$ から $sin c = 1$ なので、 $- π < c ≦ π$ の範囲で $c$ を決めてから $x = \frac{π}{4}$ を代入しましょう。

答えと解説

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2 - \frac{3 2}{2}

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解説を読む

$a, d$ を求める

$- 1 ≦ sin (b x + c) ≦ 1$ であり、 $a > 0$ だから、 $f (x)$ の最大値は $a + d$ 、最小値は $- a + d$ である。よって
$a + d = 5, - a + d = - 1$
である。辺々を加えると $2 d = 4$ より $d = 2$ 、これを代入して $a = 3$ となる。

$b$ を求める

$b > 0$ のとき、 $sin (b x + c)$ の正の周期のうち最小のものは $\frac{2 π}{b}$ である。よって
$\frac{2 π}{b} = \frac{2}{3} π$
より $b = 3$ となる。

$c$ を求める

$f (0) = 3 sin c + 2 = 5$ より $sin c = 1$ である。 $- π < c ≦ π$ の範囲でこれを満たすのは $c = \frac{π}{2}$ だけである。

以上より
$f (x) = 3 sin (3 x + \frac{π}{2}) + 2 = 3 cos 3 x + 2$
である。

$f (\frac{π}{4})$ を計算する

$f (\frac{π}{4}) = 3 cos \frac{3 π}{4} + 2 = 3 \cdot (- \frac{2}{2}) + 2 = 2 - \frac{3 2}{2}$

したがって、答えは $2 - \frac{3 2}{2}$ である。

別解

最大値 $a + d = 5$ 、最小値 $- a + d = - 1$ より $a = 3, d = 2$ 。周期 $\frac{2 π}{b} = \frac{2}{3} π$ より $b = 3$ 。 $f (0) = 3 sin c + 2 = 5$ より $sin c = 1$ 。 $- π < c ≦ π$ なので $c = \frac{π}{2}$ 。よって $f (x) = 3 sin (3 x + \frac{π}{2}) + 2 = 3 cos 3 x + 2$ 。 $f (\frac{π}{4}) = 3 cos \frac{3 π}{4} + 2 = 3 \cdot (- \frac{2}{2}) + 2 = 2 - \frac{3 2}{2}$ 。検算： $cos (3 π /4) = - 2 /2$ より、 $f (0) = 3 + 2 = 5$ で条件を満たす。

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