三角関数の問題

グラフの拡大と平行移動を、式の書きかえとして 1 つずつ行う。

操作 $(1)$：$x$ 軸方向に $3$ 倍に拡大

$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $k$ 倍に拡大すると、グラフは $y=f\left(\frac{x}{k}\right)$ になる。したがって、$x$ を $\frac{x}{3}$ におきかえて
$$y=\sin \frac{x}{3}$$
となる。周期は $2\pi$ の $3$ 倍の $6\pi$ になる。

操作 $(2)$：$y$ 軸方向に $2$ 倍に拡大

$y$ 座標が $2$ 倍になるので、右辺を $2$ 倍して
$$y=2\sin \frac{x}{3}$$
となる。

操作 $(3)$：$x$ 軸方向に $\frac{\pi }{2}$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動

$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動するには、$x$ を $x-p$ に、$y$ を $y-q$ におきかえる。ここでは $p=\frac{\pi }{2}$、$q=-1$ であるから、$x$ を $x-\frac{\pi }{2}$ に、$y$ を $y+1$ におきかえて
$$y+1=2\sin \frac{1}{3}\left(x-\frac{\pi }{2}\right)$$
となる。かっこをはずすと $\frac{1}{3}\left(x-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{x}{3}-\frac{\pi }{6}$ であるから
$$y=2\sin \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{6}\right)-1$$
となる。

確かめ

もとのグラフ上の点 $(0,0)$ は、操作 $(1)$, $(2)$ では動かず、操作 $(3)$ で $\left(\frac{\pi }{2},-1\right)$ に移る。求めた式に $x=\frac{\pi }{2}$ を代入すると $y=2\sin 0-1=-1$ となり、一致する。また、最大値は $-1+2=1$、最小値は $-1-2=-3$、周期は $\frac{2\pi }{\frac{1}{3}}=6\pi$ であり、操作の内容と合っている。

よって
$$f(x)=2\sin \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{6}\right)-1$$

(1) $x$ 軸方向に $3$ 倍に拡大すると、$y=\sin \frac{x}{3}$。
(2) $y$ 軸方向に $2$ 倍に拡大すると、$y=2\sin \frac{x}{3}$。
(3) $x$ 軸方向に $\frac{\pi }{2}$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動すると、$x$ を $x-\frac{\pi }{2}$、$y$ を $y+1$ に置き換えて
$y+1=2\sin \frac{1}{3}\left(x-\frac{\pi }{2}\right)$
よって $y=2\sin \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{6}\right)-1$。

検算: 元の点 $(\pi /2,1)$ は (1) で $(3\pi /2,1)$、(2) で $(3\pi /2,2)$、(3) で $(2\pi ,1)$ に移る。$f(2\pi )=2\sin (2\pi /3-\pi /6)-1=2\sin (\pi /2)-1=1$ で一致する。

ゆえに $f(x)=2\sin \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{6}\right)-1$。