関数解析の問題

区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体の空間 $C[0,1]$ に、上限ノルム
$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{0\le x\le 1}{\max }|f(x)|$$
を入れる。正の整数 $n$ に対して $f_n(x)=x^n-x^{2n}$ $(0\le x\le 1)$ と定めるとき、$\Vert f_n{\Vert }_{\infty }$ を求めよ。

$[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間 $C([0,1])$ を、上限ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le x\le 1}|f(x)|$ で考える。線形汎関数 $\phi :C([0,1])\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^1(4x-1)f(x)dx+f(0)$$
で定める。$\phi$ の双対ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C([0,1]),\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
の値を求めよ。

$n=1,2,3,\dots$ を添字とする実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^{3/2}<\infty$ を満たすもの全体のなす実バナッハ空間を ${\ell }^{3/2}$ とし、ノルムを
$$\Vert x{\Vert }_{3/2}={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^{3/2}\right)}^{2/3}$$
で定める。線形汎関数 $\phi :{\ell }^{3/2}\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}$$
で定めるとき、作用素ノルム $\Vert \phi \Vert ={\sup }_{x\ne 0}\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_{3/2}}$ を求めよ。

実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3<\infty$ をみたすもの全体のなす実バナッハ空間 ${\ell }^3$ に、ノルム $$\Vert x{\Vert }_3={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3\right)}^{1/3}$$ を入れる。線形汎関数 $\phi :{\ell }^3\to \mathbb{R}$ を $$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{4^n}$$ で定める。$\phi$ の作用素ノルム $$\Vert \phi \Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_3}$$ を求めよ。

実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を考える。内積はルベーグ測度に関して $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$ で定める。関数族
$$e_n(x)=\sqrt{2}\sin (n\pi x)(n=1,2,3,\dots )$$
は $L^2([0,1])$ の正規直交基底であることが知られている。$f(x)=x(1-x)$ とするとき、級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }⟨f,e_n{⟩}^2$$
の値を求めよ。