微分法の問題

積の微分法を使って $f^{\prime }(x)$、$f^{\prime \prime }(x)$ を求める。

$$f^{\prime }(x)=(e^{2x}{)}^{\prime }\cos x+e^{2x}(\cos x{)}^{\prime }=2e^{2x}\cos x-e^{2x}\sin x=e^{2x}(2\cos x-\sin x)$$

$$f^{\prime \prime }(x)=2e^{2x}(2\cos x-\sin x)+e^{2x}(-2\sin x-\cos x)=e^{2x}(3\cos x-4\sin x)$$

これらを左辺に代入すると
$$f^{\prime \prime }(x)+a{f}^{\prime }(x)+bf(x)=e^{2x}\{(3+2a+b)\cos x+(-4-a)\sin x\}$$

これがすべての実数 $x$ で $0$ になる条件を求める。$e^{2x}>0$ なので、すべての $x$ で
$$(3+2a+b)\cos x+(-4-a)\sin x=0(1)$$
が成り立てばよい。

$(1)$ に $x=0$ を代入すると $3+2a+b=0$、$x=\frac{\pi }{2}$ を代入すると $-4-a=0$ となる。よって $a=-4$ であり、$b=-3-2a=-3+8=5$ である。

逆に $a=-4,b=5$ のとき、$(1)$ の $\cos x$ と $\sin x$ の係数はどちらも $0$ になるので、$(1)$ はすべての $x$ で成り立つ。

実際に確かめると
$$e^{2x}\{(3\cos x-4\sin x)-4(2\cos x-\sin x)+5\cos x\}=e^{2x}\cdot 0=0$$
となる。

したがって $(a,b)=(-4,5)$ である。

$f=e^{2x}\cos x$ とおく。
$f^{\prime }=2e^{2x}\cos x-e^{2x}\sin x=e^{2x}(2\cos x-\sin x)$
$f^{\prime \prime }=2e^{2x}(2\cos x-\sin x)+e^{2x}(-2\sin x-\cos x)=e^{2x}(3\cos x-4\sin x)$

与式に代入して $e^{2x}$ で割ると
$(3\cos x-4\sin x)+a(2\cos x-\sin x)+b\cos x=0$
整理すると
$(3+2a+b)\cos x+(-4-a)\sin x=0$
これがすべての実数 $x$ で成り立つ条件は、$\cos x$ と $\sin x$ の係数がともに 0 になること（$x=0$ と $x=\pi /2$ を代入すれば必要性が分かる）。
$-4-a=0$ より $a=-4$。
$3+2a+b=0$ より $b=-3-2a=5$。

検算：$a=-4,b=5$ のとき
$(3\cos x-4\sin x)-4(2\cos x-\sin x)+5\cos x=(3-8+5)\cos x+(-4+4)\sin x=0$ となり成立。

よって $(a,b)=(-4,5)$。