微分法の問題

$f^{\prime }(x)$ を求める。
積の微分法より
$$f^{\prime }(x)=(e^{2x}{)}^{\prime }\sin x+e^{2x}(\sin x{)}^{\prime }=2e^{2x}\sin x+e^{2x}\cos x=e^{2x}(2\sin x+\cos x)$$

$f^{\prime \prime }(x)$ を求める。
$f^{\prime }(x)$ をもう一度微分すると
$$f^{\prime \prime }(x)=2e^{2x}(2\sin x+\cos x)+e^{2x}(2\cos x-\sin x)$$
$$=e^{2x}(4\sin x+2\cos x+2\cos x-\sin x)=e^{2x}(3\sin x+4\cos x)$$

条件式に代入する。
$$f^{\prime \prime }(x)-a{f}^{\prime }(x)+bf(x)$$
$$=e^{2x}\{(3\sin x+4\cos x)-a(2\sin x+\cos x)+b\sin x\}$$
$$=e^{2x}\{(3-2a+b)\sin x+(4-a)\cos x\}$$
$e^{2x}>0$ であるから、条件は、すべての実数 $x$ に対して
$$(3-2a+b)\sin x+(4-a)\cos x=0(1)$$
が成り立つことと同値である。

必要条件を求める。
$(1)$ で $x=0$ とすると $\sin 0=0,\cos 0=1$ より $4-a=0$ となり、$a=4$ である。
$(1)$ で $x=\frac{\pi }{2}$ とすると $\sin \frac{\pi }{2}=1,\cos \frac{\pi }{2}=0$ より $3-2a+b=0$ となる。$a=4$ を代入すると $b=5$ である。

十分性を確かめる。
$a=4,b=5$ のとき、$(1)$ の左辺の係数は $3-2a+b=3-8+5=0$、$4-a=0$ となるから、$(1)$ はすべての実数 $x$ で成り立つ。

よって $(a,b)=(4,5)$ である。

$f(x)=e^{2x}\sin x$ より、$f^{\prime }(x)=2e^{2x}\sin x+e^{2x}\cos x=e^{2x}(2\sin x+\cos x)$。
$f^{\prime \prime }(x)=2e^{2x}(2\sin x+\cos x)+e^{2x}(2\cos x-\sin x)=e^{2x}(3\sin x+4\cos x)$。

これを式に代入して $e^{2x}$ でくくると
$e^{2x}\{(3\sin x+4\cos x)-a(2\sin x+\cos x)+b\sin x\}=0$。
$e^{2x}\ne 0$ なので、
$(3-2a+b)\sin x+(4-a)\cos x=0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ。
$x=0$ を代入すると $4-a=0$ より $a=4$。
$x=\pi /2$ を代入すると $3-2a+b=0$ より $b=2a-3=5$。
逆に $a=4,b=5$ のとき、係数はともに 0 となり、すべての $x$ で成り立つ。

検算：$x=0$ で $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=1$, $f^{\prime \prime }(0)=4$ なので $4-4\cdot 1+5\cdot 0=0$。成立。$x=\pi /2$ で $f=e^{\pi }$, $f^{\prime }=2e^{\pi }$, $f^{\prime \prime }=3e^{\pi }$ なので $3-8+5=0$。成立。

よって $(a,b)=(4,5)$。