微分法の問題

$f^{\prime }(x)$ と $f^{\prime \prime }(x)$ を順に求め、それぞれの符号を調べる。

$f^{\prime }(x)$ を求める

積の微分法より
$$f^{\prime }(x)=2x{e}^{-x}+(x^2-2)(-e^{-x})=(-x^2+2x+2)e^{-x}=-(x^2-2x-2)e^{-x}$$

$f^{\prime \prime }(x)$ を求める

$f^{\prime }(x)=(-x^2+2x+2)e^{-x}$ をもう一度微分する。
$$f^{\prime \prime }(x)=(-2x+2)e^{-x}+(-x^2+2x+2)(-e^{-x})=(-2x+2+x^2-2x-2)e^{-x}=(x^2-4x)e^{-x}=x(x-4)e^{-x}$$

$f^{\prime }(x)<0$ となる範囲

$e^{-x}>0$ であるから、$f^{\prime }(x)<0$ は $x^2-2x-2>0$ と同値である。

$x^2-2x-2=0$ の解は $x=1\pm \sqrt{3}$ であるから
$$x<1-\sqrt{3},1+\sqrt{3}<x(1)$$

$f^{\prime \prime }(x)>0$ となる範囲

$e^{-x}>0$ であるから、$f^{\prime \prime }(x)>0$ は $x(x-4)>0$ と同値である。よって
$$x<0,4<x(2)$$

共通範囲を求める

$1.7<\sqrt{3}<1.8$ より、$1-\sqrt{3}$ は約 $-0.73$、$1+\sqrt{3}$ は約 $2.73$ である。したがって
$$1-\sqrt{3}<0,1+\sqrt{3}<4$$
が成り立つ。

• $(1)$ の $x<1-\sqrt{3}$ と $(2)$ の $x<0$ の共通部分は $x<1-\sqrt{3}$ である。
• $(1)$ の $x>1+\sqrt{3}$ と $(2)$ の $x>4$ の共通部分は $x>4$ である。
• $(1)$ の $x<1-\sqrt{3}$ と $(2)$ の $x>4$、$(1)$ の $x>1+\sqrt{3}$ と $(2)$ の $x<0$ は、どちらも共通部分をもたない。

以上より、求める範囲は
$$x<1-\sqrt{3},4<x$$
である。

$f(x)=(x^2-2)e^{-x}$ を微分する。
$f^{\prime }(x)=2x{e}^{-x}-(x^2-2)e^{-x}=(-x^2+2x+2)e^{-x}$。
$f^{\prime \prime }(x)=(-2x+2)e^{-x}-(-x^2+2x+2)e^{-x}=(x^2-4x)e^{-x}$。

$e^{-x}>0$ なので、
$f^{\prime }(x)<0⟺x^2-2x-2>0⟺x<1-\sqrt{3},1+\sqrt{3}<x$。
$f^{\prime \prime }(x)>0⟺x(x-4)>0⟺x<0,4<x$。

共通部分を求める。$1-\sqrt{3}\approx -0.732$、$1+\sqrt{3}\approx 2.732$ である。
- $x<1-\sqrt{3}$ かつ ($x<0$ または $x>4$): $x<1-\sqrt{3}$。
- $x>1+\sqrt{3}$ かつ ($x<0$ または $x>4$): $x>4$。

よって $x<1-\sqrt{3}$ または $x>4$。

検算: $x=-1$ で $f^{\prime }=(-1-2+2)e=-e<0$、$f^{\prime \prime }=5e>0$ で適する。$x=5$ で $f^{\prime }=(-25+10+2)e^{-5}<0$、$f^{\prime \prime }=5e^{-5}>0$ で適する。$x=3$ で $f^{\prime \prime }=-3e^{-3}<0$ なので不適。