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微分法の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学III 微分法

関数 $f (x) = x^{2} e^{- x}$ について、曲線 $y = f (x)$ が上に凸となる $x$ の範囲を求めよ。ここでは、 $f^{''} (x) < 0$ を満たす $x$ の範囲を答えるものとする。

この問題で使うもの

積と商の微分（説明と入口の問題）
合成関数の微分（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（説明と入口の問題）
2 次不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（37 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

曲線の凹凸は第2次導関数 $f^{''} (x)$ の符号で決まります。 $f^{''} (x) < 0$ となる範囲が、上に凸の範囲です。

ヒント 2

積の微分法を使い、 $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ に注意して $f^{'} (x)$ と $f^{''} (x)$ を計算しましょう。 $e^{- x}$ でくくると式が整理できます。

ヒント 3

$f^{'} (x) = (2 x - x^{2}) e^{- x}$ で、 $f^{''} (x) = (x^{2} - 4 x + 2) e^{- x}$ です。 $e^{- x} > 0$ なので、2次不等式 $x^{2} - 4 x + 2 < 0$ を解けば答えが得られます。

答えと解説

答えを見る

2 - 2 < x < 2 + 2

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解説を読む

積の微分法を使って $f^{'} (x)$ を求める。
$f^{'} (x) = 2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x}) = (2 x - x^{2}) e^{- x}$
もう一度微分する。
$f^{''} (x) = (2 - 2 x) e^{- x} + (2 x - x^{2}) \cdot (- e^{- x}) = {(2 - 2 x) - (2 x - x^{2})} e^{- x} = (x^{2} - 4 x + 2) e^{- x}$
すべての実数 $x$ で $e^{- x} > 0$ である。よって、 $f^{''} (x) < 0$ となる条件は次のとおりである。
$x^{2} - 4 x + 2 < 0$
$x^{2} - 4 x + 2 = 0$ を解くと、 $x = 2 \pm 4 - 2 = 2 \pm 2$ となる。
したがって、求める範囲は
$2 - 2 < x < 2 + 2$
である。
なお、 $x = 2 \pm 2$ の前後で $f^{''} (x)$ の符号が変わる。そのため、これらの $x$ に対応する曲線上の点は変曲点である。

別解

$f (x) = x^{2} e^{- x}$ を微分する。
$f^{'} (x) = 2 x e^{- x} - x^{2} e^{- x} = (2 x - x^{2}) e^{- x}$
$f^{''} (x) = (2 - 2 x) e^{- x} - (2 x - x^{2}) e^{- x} = (x^{2} - 4 x + 2) e^{- x}$
$e^{- x} > 0$ なので、 $f^{''} (x) < 0$ は $x^{2} - 4 x + 2 < 0$ と同値である。
$x^{2} - 4 x + 2 = 0$ を解くと $x = 2 \pm 2$ なので、 $2 - 2 < x < 2 + 2$ 。
検算として $x = 2$ を代入すると $f^{''} (2) = (4 - 8 + 2) e^{- 2} = - 2 e^{- 2} < 0$ で適する。 $x = 0$ では $f^{''} (0) = 2 > 0$ で範囲外であり、 $x = 4$ では $f^{''} (4) = 2 e^{- 4} > 0$ で範囲外である。したがって上の範囲で正しい。

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