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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

関数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - x + 1$ について、曲線 $y = f (x)$ の変曲点の座標を求めよ。

この問題で使うもの

多項式の微分（説明と入口の問題）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（31 技能）

算数中学高校大学大学院

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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「第 2 次導関数とグラフの凹凸」の技能を使います。 $f^{''} (x)$ を求め、その符号が変わる点を探しましょう。

ヒント 2

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 1$ をもう一度微分して $f^{''} (x)$ を求め、 $f^{''} (x) = 0$ となる $x$ の前後で符号が変わるかを確かめます。

ヒント 3

$f^{''} (x) = 6 (x + 1)$ なので、 $x = - 1$ の前後で符号が負から正に変わります。あとは $f (- 1)$ を計算しましょう。

答えと解説

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(- 1, 4)

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解説を読む

方針　第 2 次導関数 $f^{''} (x)$ を求め、その符号を調べます。 $f^{''} (x) > 0$ の範囲では曲線は下に凸、 $f^{''} (x) < 0$ の範囲では上に凸です。凹凸が入れかわる点が変曲点です。

手順 1：第 1 次導関数を求める
$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 1$

手順 2：第 2 次導関数を求める
$f^{'} (x)$ をもう一度微分します。
$f^{''} (x) = 6 x + 6 = 6 (x + 1)$

手順 3： $f^{''} (x)$ の符号を調べる
$f^{''} (x) = 0$ となるのは $x = - 1$ のときです。
- $x < - 1$ のとき $f^{''} (x) < 0$ なので、曲線は上に凸
- $x > - 1$ のとき $f^{''} (x) > 0$ なので、曲線は下に凸

これを表にまとめると、次のようになります。
$x f^{''} (x) y = f (x) \dots - 上に凸 - 1 0 変曲点 \dots + 下に凸$

手順 4：変曲点の座標を求める
$x = - 1$ の前後で $f^{''} (x)$ の符号が負から正に変わるので、凹凸が入れかわります。よって $x = - 1$ の点が変曲点です。その $y$ 座標は
$f (- 1) = (- 1)^{3} + 3 \cdot (- 1)^{2} - (- 1) + 1 = - 1 + 3 + 1 + 1 = 4$

したがって、変曲点の座標は $(- 1, 4)$ です。

別解

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - x + 1$ より、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 1$ 、 $f^{''} (x) = 6 x + 6 = 6 (x + 1)$ 。
$f^{''} (x) = 0$ となるのは $x = - 1$ のみで、 $x = - 1$ の前後で $f^{''} (x)$ の符号は負から正に変わるので、 $x = - 1$ で変曲する。
$f (- 1) = - 1 + 3 + 1 + 1 = 4$ 。
よって変曲点は $(- 1, 4)$ 。
検算: $f (- 1) = (- 1)^{3} + 3 (- 1)^{2} - (- 1) + 1 = - 1 + 3 + 1 + 1 = 4$ 。 $x < - 1$ で $f^{''} < 0$ （上に凸）、 $x > - 1$ で $f^{''} > 0$ （下に凸）となることも確かめた。

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