ダイオードの電流電圧特性

ショックレーの式 $I = I_{s} (e^{q V / k T} - 1)$ や定電圧降下モデルを使って、ダイオードを含む回路の電流・電圧と小信号抵抗 $r_{d} = \frac{k T}{q I}$ を求められる

前提

キルヒホッフの法則（高校物理電流と回路）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
pn 接合ダイオードの整流作用（高校物理電流と回路（知識））

この技能までの道筋（40 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
電池の起電力・内部抵抗・端子電圧（高校物理電流と回路（知識））
キルヒホッフの法則の意味（高校物理電流と回路（知識））
キルヒホッフの法則（高校物理電流と回路）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
真性半導体・n 型半導体・p 型半導体（高校物理電流と回路（知識））
pn 接合ダイオードの整流作用（高校物理電流と回路（知識））

説明

pn 接合ダイオードに加える電圧 $V$ と流れる電流 $I$ の関係を、ショックレーの式 $I = I_{s} (e^{q V / k T} - 1)$ や、それを簡単にした定電圧降下モデルで表し、ダイオードを含む回路の電流と電圧を求める技能です。さらに、動作点のまわりで電圧を少しだけ変えたときの電流の変わりやすさを表す小信号抵抗 $r_{d} = \frac{k T}{q I}$ も求めます。整流回路やバイアスをかけたダイオードに小さな交流信号を重ねる回路を解析するときに使います。

なぜそうしてよいのか

接合面には、n 型側の電子が p 型側へ（ホールは逆向きに）越えにくくする電位の壁があります。温度 $T$ では、キャリアのうちエネルギー $E$ 以上をもつものの割合は $e^{- E / k T}$ に比例します（ $k$ はボルツマン定数）。順方向に電圧 $V$ を加えると壁の高さが $q V$ （ $q$ は電気素量）だけ低くなるので、壁を越えて流れ込む電流は $V = 0$ のときの $e^{q V / k T}$ 倍になります。一方、壁を下る向きに少数キャリアが流れる逆向きの電流は壁の高さによらず一定の大きさ $I_{s}$ （飽和電流）です。 $V = 0$ では両者がつり合って電流が $0$ なので、越える向きの電流は $V = 0$ で $I_{s}$ 、一般に $I_{s} e^{q V / k T}$ です。差し引きすると $I = I_{s} e^{q V / k T} - I_{s} = I_{s} (e^{q V / k T} - 1)$ となります。逆方向（ $V < 0$ ）で $∣ V ∣$ が $k T / q$ より十分大きければ $I \approx - I_{s}$ で、ほとんど流れません。

室温では $k T / q \approx 26 mV$ と小さいので、順方向の電流は電圧が $26 mV$ 増えるごとに約 $e$ 倍になり、ある電圧（ケイ素なら $0.6 \sim 0.7 V$ 程度）を超えたところで急に流れ始めます。そこで回路の計算では、「導通しているときは端子間電圧が一定値 $V_{on}$ 、導通していないときは電流 $0$ 」とみなす定電圧降下モデルがよく使われます。

動作点（電流 $I$ ）のまわりで電圧を少し変えたとき、電流の変化の割合は導関数 $\frac{d I}{d V} = \frac{q}{k T} I_{s} e^{q V / k T} = \frac{q}{k T} (I + I_{s})$ です。順方向で $I ≫ I_{s}$ なら $\frac{d I}{d V} \approx \frac{q I}{k T}$ となり、その逆数 $r_{d} = \frac{d V}{d I} = \frac{k T}{q I}$ が小信号抵抗です。電流が大きいほど特性の傾きが急なので、 $r_{d}$ は小さくなります。

手順

ダイオードが順方向か逆方向かを判定する。定電圧降下モデルでは、ダイオードを電圧 $V_{on}$ の電池に置き換えて流れる電流が順方向（正）なら導通、そうでなければ $I = 0$ とする
導通なら、ダイオードの電圧を $V_{on}$ （ショックレーの式を使う場合は $V = \frac{k T}{q} lo g (\frac{I}{I _{s}} + 1)$ ）としてキルヒホッフの法則の式を立て、電流 $I$ を求める
ショックレーの式で電圧から電流を求めるときは $I = I_{s} (e^{q V / k T} - 1)$ にそのまま代入する。2 つの電流の比からは $V_{2} - V_{1} = \frac{k T}{q} lo g \frac{I _{2}}{I _{1}}$ （ $I ≫ I_{s}$ のとき）が使える
小信号抵抗が必要なら、求めた動作点の電流 $I$ を $r_{d} = \frac{k T}{q I}$ に代入する（ $I ≫ I_{s}$ のとき）

例題

起電力 $5.0 V$ の直流電源（内部抵抗は無視する）、抵抗 $R = 1.0 kΩ$ 、ダイオードを直列につなぎ、ダイオードに順方向の電圧がかかるようにした。直流の電流は、ダイオードを導通時の電圧降下 $0.7 V$ の定電圧降下モデルとみなして求める。また $\frac{k T}{q} = 26 mV$ とし、この動作点でのダイオードの小信号抵抗は $r_{d} = \frac{k T}{q I}$ で与えられるとする。 $r_{d}$ は何 $Ω$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

【手順 1】ダイオードを $0.7 V$ の電池に置き換えると、電源の $5.0 V$ がそれより大きいので順方向に電流が流れ、ダイオードは導通しています。

【手順 2】閉回路にキルヒホッフの第 2 法則を使うと $5.0 = R I + 0.7$ なので $I = \frac{5.0 - 0.7}{1.0 \times 1 0 ^{3}} = 4.3 \times 1 0^{- 3} A = 4.3 mA$ です。

【手順 3】ここでは電圧から電流を求める計算はないので省きます。

【手順 4】 $I = 4.3 mA$ は飽和電流よりはるかに大きいので $r_{d} = \frac{k T}{q I} = \frac{26 \times 1 0 ^{- 3} V}{4.3 \times 1 0 ^{- 3} A} = 6.04 \dots Ω \approx 6.0 Ω$ です。

答え: $6.0$

よくある誤り

小信号抵抗を、動作点の電圧と電流の比 $\frac{V}{I} = \frac{0.7 V}{4.3 mA} \approx 163 Ω$ としてしまう誤り。小信号抵抗は特性曲線の傾きの逆数なので、正しくは $r_{d} = \frac{d V}{d I} = \frac{k T}{q I} \approx 6.0 Ω$
ショックレーの式の $- 1$ を落として逆方向でも $I = I_{s} e^{q V / k T}$ とし、 $V \to - \infty$ で電流が $0$ に近づくとしてしまう誤り。正しくは $I = I_{s} (e^{q V / k T} - 1)$ で、逆方向に大きな電圧をかけると $I \to - I_{s}$ （大きさ $I_{s}$ の逆向きの電流）になる
定電圧降下モデルで、導通していないダイオードにも電圧 $V_{on}$ がかかっているとしてしまう誤り。正しくは逆方向（または順方向でも電源が $V_{on}$ に届かない）ときは $I = 0$ で、ダイオードの端子間電圧は回路の残りから決まる
電流を 10 倍にするのに必要な電圧の増加を $\frac{k T}{q} \times 10$ としてしまう誤り。指数関数なので、正しくは $Δ V = \frac{k T}{q} lo g 10 \approx 26 mV \times 2.30 \approx 60 mV$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
起電力 $E = 5.0 V$ の直流電源（内部抵抗は無視する）、抵抗値 $R = 1.0 kΩ$ の抵抗、シリコンの pn 接合ダイオードを、1 つの輪になるように直列につなぐ（図）。ダイオードのアノード（p 側）は抵抗を通して電源の正極側に、カソード（n 側）は電源の負極側につながっていて、ダイオードには順方向の電圧がかかる。ダイオードは定電圧降下モデルで扱い、順方向に電流が流れているときのダイオードの両端の電圧はつねに $V_{D} = 0.70 V$ とする。導線の抵抗は無視する。回路を流れる電流 $I$ は何 mA か。有効数字 2 桁で求めよ。
$E = 5.0 V$ $R = 1.0 kΩ$ ダイオード
ダイオードは三角形の向き（上から下）が順方向

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の演習問題レベル）
出力電圧を変えられる直流電源、シリコンの pn 接合ダイオード、電流計の 3 つを 1 つの輪になるように直列につなぐ。ダイオードの p 側（アノード）を電源の正極側に、n 側（カソード）を電流計を通して電源の負極側につなぎ、ダイオードに順方向電圧 $V$ を加えて、回路を流れる電流 $I$ を電流計で測定する。
ダイオードの電流電圧特性は理想ダイオードの式
$I = I_{s} {exp (\frac{V}{V _{T}}) - 1}$
（ $I_{s}$ は逆方向飽和電流）に従い、熱電圧は $V_{T} = 25 mV$ で温度は一定とする。また、測定する範囲では $exp (V / V_{T}) ≫ 1$ であり、電流計の内部抵抗やダイオードの直列抵抗、導線の抵抗は無視できるものとする。
はじめ順方向電流は $I_{1} = 0.50 mA$ であった。電流を $I_{2} = 4.0 mA$ にするには、ダイオードの両端の順方向電圧を何 $mV$ 大きくすればよいか。自然対数 $lo g$ を用いた正確な値で求めよ。
$V$ $I$ ダイオード $A$
ダイオードには順方向（p 側が電源の正極側）に電圧を加える