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微分法の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学III 微分法

関数 $f (x) = x^{2} e^{2 x}$ （ $x$ は実数）を考える。正の整数 $n$ に対して、 $f (x)$ の第 $n$ 次導関数を $f^{(n)} (x)$ で表す。方程式 $f^{(n)} (x) = 0$ は異なる $2$ つの実数解をもつ。それらを $α_{n}, β_{n} (α_{n} < β_{n})$ とするとき、 $β_{n} - α_{n}$ を $n$ の式で表せ。

この問題で使うもの

積と商の微分（説明と入口の問題）
合成関数の微分（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
等差・等比数列の和と Σ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（27 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$f^{(n)} (x)$ は $e^{2 x}$ と $x$ の $2$ 次式の積の形になると予想し、 $f^{(n)} (x) = e^{2 x} (a_{n} x^{2} + b_{n} x + c_{n})$ とおいてみましょう。

ヒント 2

$f^{(n)} (x)$ を積の微分法で微分して $f^{(n + 1)} (x)$ と係数を比べると、 $a_{n + 1} = 2 a_{n}, b_{n + 1} = 2 b_{n} + 2 a_{n}, c_{n + 1} = 2 c_{n} + b_{n}$ が得られます。 $b_{n}, c_{n}$ の漸化式は両辺を $2^{n + 1}$ で割ると解きやすくなります。

ヒント 3

$a_{n} = 2^{n}$ 、 $b_{n} = n \cdot 2^{n}$ となります。 $c_{n}$ を求めたら、 $f^{(n)} (x) = 0$ を $x$ の $2$ 次方程式に直し、 $2$ 解の差を判別式で表しましょう。

答えと解説

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n

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解説を読む

1. 導関数の形を決める

積の微分法により
$f^{'} (x) = 2 x e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x} = e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x)$
である。そこで、ある実数 $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ を用いて
$f^{(n)} (x) = e^{2 x} (a_{n} x^{2} + b_{n} x + c_{n})$
と表せると仮定する。 $n = 1$ のときは $a_{1} = 2, b_{1} = 2, c_{1} = 0$ である。

2. 漸化式を立てる

この式を微分すると
$f^{(n + 1)} (x) = 2 e^{2 x} (a_{n} x^{2} + b_{n} x + c_{n}) + e^{2 x} (2 a_{n} x + b_{n})$
$= e^{2 x} {2 a_{n} x^{2} + (2 b_{n} + 2 a_{n}) x + (2 c_{n} + b_{n})}$
となる。よって $f^{(n + 1)} (x)$ も同じ形で表せる。したがってすべての正の整数 $n$ についてこの形で表せ、次の漸化式が成り立つ。
$a_{n + 1} = 2 a_{n}, b_{n + 1} = 2 b_{n} + 2 a_{n}, c_{n + 1} = 2 c_{n} + b_{n}$

3. $a_{n}$ を求める

$a_{1} = 2$ であるから $a_{n} = 2^{n}$ である。

4. $b_{n}$ を求める

$b_{n + 1} = 2 b_{n} + 2^{n + 1}$ の両辺を $2^{n + 1}$ で割ると
$\frac{b _{n + 1}}{2 ^{n + 1}} = \frac{b _{n}}{2 ^{n}} + 1$
となる。 $\frac{b _{1}}{2} = 1$ なので、 $\frac{b _{n}}{2 ^{n}} = n$ である。すなわち $b_{n} = n \cdot 2^{n}$ となる。

5. $c_{n}$ を求める

$c_{n + 1} = 2 c_{n} + n \cdot 2^{n}$ の両辺を $2^{n + 1}$ で割ると
$\frac{c _{n + 1}}{2 ^{n + 1}} = \frac{c _{n}}{2 ^{n}} + \frac{n}{2}$
となる。 $\frac{c _{1}}{2} = 0$ なので、 $n \geq 2$ のとき
$\frac{c _{n}}{2 ^{n}} = k = 1 \sum n - 1 \frac{k}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{( n - 1 ) n}{2} = \frac{n ( n - 1 )}{4}$
である。これは $n = 1$ のときも成り立つ。よって $c_{n} = 2^{n} \cdot \frac{n ( n - 1 )}{4}$ である。

6. まとめ

以上より
$f^{(n)} (x) = 2^{n} e^{2 x} (x^{2} + n x + \frac{n ( n - 1 )}{4})$
である。(確認: $n = 2$ のとき $f^{''} (x) = 4 e^{2 x} (x^{2} + 2 x + \frac{1}{2})$ となり、直接計算した結果と一致する。)

7. 解の差を求める

$2^{n} e^{2 x} > 0$ であるから、 $f^{(n)} (x) = 0$ は次の方程式と同値である。
$x^{2} + n x + \frac{n ( n - 1 )}{4} = 0$
この方程式の判別式は
$D = n^{2} - 4 \cdot \frac{n ( n - 1 )}{4} = n^{2} - n^{2} + n = n > 0$
である。2 つの解は $x = \frac{- n \pm n}{2}$ となる。したがって
$β_{n} - α_{n} = \frac{- n + n}{2} - \frac{- n - n}{2} = n$
である。

別解

ライプニッツの公式より、 $f^{(n)} (x) = \sum_{k = 0}^{2} (k n) (x^{2})^{(k)} (e^{2 x})^{(n - k)}$ である。
$(x^{2})^{'} = 2 x, (x^{2})^{''} = 2$ 、 $(e^{2 x})^{(m)} = 2^{m} e^{2 x}$ なので、
$f^{(n)} (x) = e^{2 x} [2^{n} x^{2} + n \cdot 2 x \cdot 2^{n - 1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} \cdot 2 \cdot 2^{n - 2}] = 2^{n} e^{2 x} (x^{2} + n x + \frac{n ( n - 1 )}{4})$ 。
$2^{n} e^{2 x} > 0$ なので、 $f^{(n)} (x) = 0$ は $x^{2} + n x + \frac{n ( n - 1 )}{4} = 0$ と同値。
この判別式は $D = n^{2} - n (n - 1) = n > 0$ なので異なる2実数解をもち、解は $x = \frac{- n \pm n}{2}$ 。
したがって $β_{n} - α_{n} = n$ 。
検算： $n = 1$ のとき $f^{'} = e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x)$ なので解は $0, - 1$ で差は $1 = 1$ 。これは上の式と合う。

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