緩衝能

緩衝能 $β = \frac{d C _{b}}{d pH}$ を、弱酸 1 種につき $β = lo g 10 \cdot \frac{C K _{a} [ H ^{+} ]}{( K _{a} + [ H ^{+} ] ) ^{2}}$ （水の寄与 $lo g 10 ([H^{+}] + [O H^{-}])$ も含めて）の形で求め、複数の弱酸を含む溶液の緩衝能を計算できる

前提

酸塩基化学種の分率（大学化学溶液内の平衡）
緩衝液の pH （高校化学化学平衡）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
物質収支と電荷収支（大学化学溶液内の平衡）

この技能までの道筋（46 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
原子量・分子量・式量（高校化学物質量と化学反応式）
物質量と質量・粒子の数（高校化学物質量と化学反応式）
モル濃度（高校化学物質量と化学反応式）
気体の体積と物質量（高校化学物質量と化学反応式）
化学反応式の係数（中学理科化学変化と原子・分子）
化学反応式と量的関係（高校化学物質量と化学反応式）
濃度平衡定数（高校化学化学平衡）
イオンと電離・電解質（中学理科化学分野の用語と知識）
酸・アルカリと中和・指示薬（中学理科化学分野の用語と知識）
酸・塩基の価数と強弱（高校化学酸と塩基）
強酸・強塩基の水素イオン濃度と水のイオン積（高校化学酸と塩基）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
pH の計算（高校化学酸と塩基）
弱酸・弱塩基の電離平衡と pH （高校化学化学平衡）
酸塩基化学種の分率（大学化学溶液内の平衡）
ちょうど中和する体積（中学理科化学変化とイオン）
中和の量的関係（高校化学酸と塩基）
緩衝液の pH （高校化学化学平衡）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
物質収支と電荷収支（大学化学溶液内の平衡）

説明

緩衝液は酸や塩基を少し加えても pH が変わりにくい溶液ですが、「どれくらい変わりにくいか」は pH や濃度によって違います。その強さを数で表したものが緩衝能 $β$ で、強塩基を加えた濃度 $C_{b}$ を pH で微分した $β = \frac{d C _{b}}{d pH}$ と定義します。この技能では、弱酸の濃度・電離定数と pH から $β$ を計算し、複数の弱酸が入った溶液の $β$ も足し合わせで求めます。緩衝液の設計や、どの pH で緩衝作用が最も強いかを判断する場面で使います。

なぜそうしてよいのか

全濃度 $C$ の弱酸 HA の溶液に、強塩基 NaOH を濃度 $C_{b}$ だけ加えたとします（ $[N a^{+}] = C_{b}$ ）。 $h = [H^{+}]$ と書くと、電荷収支 $[N a^{+}] + [H^{+}] = [A^{-}] + [O H^{-}]$ と分率 $[A^{-}] = C \frac{K _{a}}{K _{a} + h}$ 、 $[O H^{-}] = \frac{K _{w}}{h}$ から
$C_{b} = \frac{C K _{a}}{K _{a} + h} - h + \frac{K _{w}}{h}$
となり、加えた塩基の量が $h$ の関数として近似なしで表せます。

$pH = - lo g_{10} h$ なので $h = 1 0^{- pH}$ で、 $a^{x}$ の導関数から $\frac{d h}{d pH} = - lo g 10 \cdot 1 0^{- pH} = - lo g 10 \cdot h$ です（ $lo g$ は自然対数）。合成関数の微分で
$β = \frac{d C _{b}}{d h} \cdot \frac{d h}{d pH} = (- \frac{C K _{a}}{( K _{a} + h ) ^{2}} - 1 - \frac{K _{w}}{h ^{2}}) (- lo g 10 \cdot h) = lo g 10 (\frac{C K _{a} h}{( K _{a} + h ) ^{2}} + h + [O H^{-}])$
が得られます。第 1 項が弱酸による寄与、 $h + [O H^{-}]$ が水自身（強酸性・強塩基性の領域）の寄与です。弱酸の項は $h = K_{a}$ （ $pH = p K_{a}$ 、ただし $p K_{a} = - lo g_{10} K_{a}$ ）のとき最大値 $lo g 10 \cdot \frac{C}{4}$ をとり、HA と $A^{-}$ が等量のときに緩衝作用が最も強いことがわかります。

弱酸が何種類も入っていると、 $C_{b}$ の式には各弱酸の $\frac{C _{i} K _{a, i}}{K _{a, i} + h}$ がそれぞれ足し算で現れます。微分は項ごとにできるので、緩衝能も各弱酸の寄与と水の寄与の和
$β = lo g 10 (i \sum \frac{C _{i} K _{a, i} h}{( K _{a, i} + h ) ^{2}} + h + [O H^{-}])$
になります。HA と NaA のように酸とその塩を混ぜた溶液でも、 $C$ は HA と $A^{-}$ を合わせた全濃度です。

手順

pH から $h = [H^{+}] = 1 0^{- pH}$ 、 $[O H^{-}] = K_{w} / h$ を求める
各弱酸について、全濃度 $C_{i}$ （酸と共役塩基の合計）と $K_{a, i}$ を確認する
各弱酸の寄与 $\frac{C _{i} K _{a, i} h}{( K _{a, i} + h ) ^{2}}$ を計算する
水の寄与 $h + [O H^{-}]$ を加え、全体に $lo g 10$ を掛けて $β = lo g 10 (\sum_{i} \frac{C _{i} K _{a, i} h}{( K _{a, i} + h ) ^{2}} + h + [O H^{-}])$ を得る

例題

酢酸と酢酸ナトリウムを含み、両者を合わせた全濃度が $C = 0.100 mol L^{- 1}$ 、pH が $5.00$ の緩衝液がある。酢酸の電離定数を $K_{a} = 1.0 \times 1 0^{- 5} mol L^{- 1}$ 、水のイオン積を $K_{w} = 1.0 \times 1 0^{- 14} mol^{2} L^{- 2}$ 、 $lo g 10 = 2.303$ とする。水の寄与も含めて、この溶液の緩衝能 $β = \frac{d C _{b}}{d pH}$ （単位 $mol L^{- 1}$ ）を有効数字 3 桁で求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $h = 1 0^{- 5.00} = 1.0 \times 1 0^{- 5}$ 、 $[O H^{-}] = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 14}}{1.0 \times 1 0 ^{- 5}} = 1.0 \times 1 0^{- 9}$ 。

【手順 2】弱酸は酢酸 1 種で、 $C = 0.100$ 、 $K_{a} = 1.0 \times 1 0^{- 5}$ 。

【手順 3】 $h = K_{a}$ なので
$\frac{C K _{a} h}{( K _{a} + h ) ^{2}} = \frac{0.100 \times K _{a}^{2}}{( 2 K _{a} ) ^{2}} = \frac{0.100}{4} = 2.50 \times 1 0^{- 2}$

【手順 4】水の寄与は $h + [O H^{-}] = 1.0 \times 1 0^{- 5} + 1.0 \times 1 0^{- 9} \approx 1.0 \times 1 0^{- 5}$ 。
$β = 2.303 \times (2.50 \times 1 0^{- 2} + 1.0 \times 1 0^{- 5}) = 2.303 \times 2.501 \times 1 0^{- 2} \approx 5.76 \times 1 0^{- 2}$

よって $β = 0.0576 mol L^{- 1}$ （pH 1 あたり）。

答え: $0.0576$

よくある誤り

係数 $lo g 10$ を落として $β = \frac{C K _{a} h}{( K _{a} + h ) ^{2}}$ としてしまう誤り。pH は常用対数で定義されているので $\frac{d h}{d pH} = - lo g 10 \cdot h$ となり、正しくは $β = lo g 10 \cdot \frac{C K _{a} h}{( K _{a} + h ) ^{2}} + \dots$ （ $lo g 10 \approx 2.303$ ）である
$C$ に酸 HA の濃度だけを入れてしまう誤り。正しくは HA と $A^{-}$ を合わせた全濃度を使う（例題では酢酸と酢酸ナトリウムの合計 $0.100 mol L^{- 1}$ ）
分母の 2 乗を忘れて $\frac{C K _{a} h}{K _{a} + h}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{C K _{a}}{K _{a} + h}$ を $h$ で微分して出てくるので $(K_{a} + h)^{2}$ である
複数の弱酸を含む溶液で、各弱酸の $C_{i}$ を合計してから 1 つの $K_{a}$ で計算してしまう誤り。正しくは各弱酸ごとに $\frac{C _{i} K _{a, i} h}{( K _{a, i} + h ) ^{2}}$ を計算して足し合わせる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
1 価の弱酸 $HA$ （電離定数 $K_{a} = 1.0 \times 1 0^{- 5} mol L^{- 1}$ ）とその共役塩基 $A^{-}$ を合計濃度 $C = [HA] + [A^{-}] = 0.100 mol L^{- 1}$ で含む緩衝液があり、その pH は $5.00$ である。強塩基を加えたときの緩衝能を
$β = \frac{d C _{b}}{d pH}$
（ $C_{b}$ は加えた強塩基の濃度）で定義すると、この溶液では
$β = lo g 10 \cdot (\frac{C K _{a} [ H ^{+} ]}{( K _{a} + [ H ^{+} ] ) ^{2}} + [H^{+}] + [O H^{-}])$
と表される。水のイオン積を $K_{w} = 1.0 \times 1 0^{- 14} mo l^{2} L^{- 2}$ 、 $lo g 10 = 2.303$ として、この緩衝液の緩衝能 $β$ を $mol L^{- 1}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、活量係数はすべて 1 とみなし、溶液の温度は一定とする。

緩衝能

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題