pH の計算

$pH = - lo g_{10} [H^{+}]$ を使って、強酸・強塩基の水溶液の pH を求め、pH から $[H^{+}]$ を求められる

前提

強酸・強塩基の水素イオン濃度と水のイオン積（高校化学酸と塩基）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

この技能までの道筋（20 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
イオンと電離・電解質（中学理科化学分野の用語と知識）
酸・アルカリと中和・指示薬（中学理科化学分野の用語と知識）
酸・塩基の価数と強弱（高校化学酸と塩基）
原子量・分子量・式量（高校化学物質量と化学反応式）
物質量と質量・粒子の数（高校化学物質量と化学反応式）
モル濃度（高校化学物質量と化学反応式）
強酸・強塩基の水素イオン濃度と水のイオン積（高校化学酸と塩基）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

説明

水素イオン濃度 $[H^{+}]$ は $1 0^{- 1}$ から $1 0^{- 14}$ mol/L ほどまで桁が大きく変わるので、そのままでは比べにくい数です。そこで $pH = - lo g_{10} [H^{+}]$ という 1 つの数で酸性・塩基性の強さを表します。この技能では、強酸・強塩基の水溶液の濃度から pH を求めること、逆に pH から $[H^{+}]$ を求めることができるようになります。

なぜそうしてよいのか

$[H^{+}]$ を $1 0^{- n}$ mol/L の形に書くと、大事なのは指数 $- n$ の部分です。 $lo g_{10}$ はちょうどこの指数を取り出す働きをするので $lo g_{10} 1 0^{- n} = - n$ 、ここにマイナスを付けて正の数にしたのが pH です。つまり $[H^{+}] = 1 0^{- n}$ mol/L なら $pH = n$ です。 $[H^{+}]$ が 10 倍になると pH は 1 小さくなり、 $[H^{+}]$ が大きいほど（酸性が強いほど）pH は小さくなります。

$[H^{+}]$ が $10$ のちょうど累乗でないときは、対数の性質 $lo g_{10} (A B) = lo g_{10} A + lo g_{10} B$ を使って $[H^{+}] = a \times 1 0^{- n}$ を $pH = n - lo g_{10} a$ と分けて計算します。例えば $[H^{+}] = 2.0 \times 1 0^{- 3}$ mol/L なら $pH = 3 - lo g_{10} 2$ です。

塩基の水溶液では、まず $[O H^{-}]$ を求め、水のイオン積 $[H^{+}] [O H^{-}] = 1.0 \times 1 0^{- 14}$ （25℃）から $[H^{+}]$ に直してから pH を求めます。 $[O H^{-}] = 1 0^{- m}$ なら $[H^{+}] = 1 0^{- (14 - m)}$ なので $pH = 14 - m$ になります。逆に pH から $[H^{+}]$ を求めるときは、定義を指数の形に戻して $[H^{+}] = 1 0^{- pH}$ とします。

手順

酸・塩基の濃度と価数から $[H^{+}]$ または $[O H^{-}]$ を求める（強酸なら $[H^{+}] =$ （価数）×（濃度）、強塩基なら $[O H^{-}] =$ （価数）×（濃度））
塩基のときは水のイオン積 $[H^{+}] = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 14}}{[ O H ^{-} ]}$ で $[H^{+}]$ に直す
$[H^{+}]$ を $a \times 1 0^{- n}$ の形に書く
$pH = - lo g_{10} (a \times 1 0^{- n}) = n - lo g_{10} a$ を計算し、与えられた対数の値を代入する
pH から $[H^{+}]$ を求めるときは $[H^{+}] = 1 0^{- pH}$ mol/L とする

例題

25℃ で、0.010 mol/L の水酸化バリウム $Ba (OH)_{2}$ 水溶液の pH を小数第 1 位まで求めよ。ただし、水酸化バリウムは水中で完全に電離するものとし、水のイオン積は $[H^{+}] [O H^{-}] = 1.0 \times 1 0^{- 14} (mol/L)^{2}$ 、 $lo g_{10} 2 = 0.30$ とする。

例題の解答

手順 1： $Ba (OH)_{2}$ は 2 価の強塩基なので
$[O H^{-}] = 2 \times 0.010 = 2.0 \times 1 0^{- 2} mol/L$

手順 2：水のイオン積より
$[H^{+}] = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 14}}{2.0 \times 1 0 ^{- 2}} = \frac{1}{2} \times 1 0^{- 12} mol/L$

手順 3： $\frac{1}{2} = 2^{- 1}$ なので $[H^{+}] = 2^{- 1} \times 1 0^{- 12}$ と書ける。

手順 4：
$pH = - lo g_{10} (2^{- 1} \times 1 0^{- 12}) = 12 + lo g_{10} 2 = 12 + 0.30 = 12.3$

よって pH は 12.3。

答え: $12.3$

よくある誤り

価数をかけ忘れる誤り。 $0.010$ mol/L の $Ba (OH)_{2}$ で $[O H^{-}] = 1.0 \times 1 0^{- 2}$ として pH を 12 としてしまうが、正しくは 2 価なので $[O H^{-}] = 2.0 \times 1 0^{- 2}$ mol/L で pH は 12.3。
塩基の水溶液で $[O H^{-}]$ をそのまま $- lo g_{10}$ に入れて pH としてしまう誤り。 $[O H^{-}] = 1.0 \times 1 0^{- 3}$ mol/L で pH を 3 としてしまうが、正しくは $[H^{+}] = 1.0 \times 1 0^{- 11}$ mol/L に直して pH は 11。
対数の符号を取り違える誤り。 $[H^{+}] = 2.0 \times 1 0^{- 3}$ mol/L で $pH = 3 + lo g_{10} 2 = 3.3$ としてしまうが、正しくは $pH = - lo g_{10} 2 - lo g_{10} 1 0^{- 3} = 3 - 0.30 = 2.7$ 。
pH から濃度に戻すときマイナスを落とす誤り。pH が 4 のとき $[H^{+}] = 1 0^{4}$ mol/L としてしまうが、正しくは $[H^{+}] = 1 0^{- 4}$ mol/L。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$25^{\circ} C$ で、 $1.0 \times 1 0^{- 3} mol/L$ の硝酸 $HN O_{3}$ 水溶液の pH を求めよ。ただし、硝酸は水溶液中で完全に電離するものとし、答えは整数で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

極端に薄めた酸・塩基の pH （高校化学酸と塩基）
中和後の混合溶液の pH （高校化学酸と塩基）
弱酸・弱塩基の電離平衡と pH （高校化学化学平衡）
電池の起電力と反応商（大学化学電気化学）