微分積分の問題

1. 立体がある場所を調べる

左辺 $(x^2+y^2+z^2{)}^2$ は $0$ 以上なので、$V$ の点では $xyz\ge 0$ である。$xyz=0$ となる点では左辺も $0$ でなければならず、それは原点だけである。原点は体積に影響しないので、$xyz>0$ の部分だけを考えればよい。

$xyz>0$ となるのは次の 4 つの八分空間である。
- $x,y,z>0$
- $x>0,y<0,z<0$
- $x<0,y>0,z<0$
- $x<0,y<0,z>0$

変換 $(x,y,z)\mapsto (x,-y,-z)$ を考える。この変換は $x^2+y^2+z^2$ も $xyz$ も変えず、体積も変えない。同様の符号の入れ替えを使うと、4 つの八分空間にある部分はどれも合同になる。したがって
$$|V|=4|V_1|,V_1=V\cap \{x>0,y>0,z>0\}$$
である。

2. 極座標で表す

極座標
$$x=\rho \sin \phi \cos \theta ,y=\rho \sin \phi \sin \theta ,z=\rho \cos \phi$$
を用いる。ヤコビアンは ${\rho }^2\sin \phi$ である。第 1 八分空間は $0<\phi <\frac{\pi }{2}$, $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ に対応する。

条件は
$${\rho }^4\le 2{\rho }^3{\sin }^2\phi \cos \phi \sin \theta \cos \theta$$
となる。$\rho >0$ で両辺を ${\rho }^3$ で割ると
$$0<\rho \le 2{\sin }^2\phi \cos \phi \sin \theta \cos \theta$$
を得る。

3. 第 1 八分空間の部分の体積を計算する

$$|V_1|={\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^{2{\sin }^2\phi \cos \phi \sin \theta \cos \theta }{\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta$$

$\rho$ について積分すると
$${\int }_0^R{\rho }^{2}d\rho =\frac{R^3}{3},R^3=8{\sin }^6\phi {\cos }^3\phi {\sin }^3\theta {\cos }^3\theta$$
なので
$$|V_1|=\frac{8}{3}{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^7\phi {\cos }^3\phi d\phi \cdot {\int }_0^{\pi /2}{\sin }^3\theta {\cos }^3\theta d\theta$$
となる。

$\phi$ の積分は、$s=\sin \phi$ とおくと $ds=\cos \phi d\phi$, ${\cos }^2\phi =1-s^2$ より
$${\int }_0^1{s}^7(1-s^2)ds=\frac{1}{8}-\frac{1}{10}=\frac{1}{40}$$
である。

$\theta$ の積分も同様に $s=\sin \theta$ とおくと
$${\int }_0^1{s}^3(1-s^2)ds=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$$
である。

よって
$$|V_1|=\frac{8}{3}\cdot \frac{1}{40}\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{180}$$
である。

4. 全体の体積

$$|V|=4\cdot \frac{1}{180}=\frac{1}{45}$$

球座標 $x=r\sin \theta \cos \phi ,y=r\sin \theta \sin \phi ,z=r\cos \theta$ を用いる。

不等式は $r^4\le 2r^3{\sin }^2\theta \cos \theta \sin \phi \cos \phi$ となる。したがって $r\le R:={\sin }^2\theta \cos \theta \sin 2\phi$ である。

$xyz>0$ の部分でのみ $R>0$ となり、$xyz\le 0$ の部分では原点だけが残る（体積 0）。

$xyz>0$ となるのは、座標の符号が $(+,+,+),(+,-,-),(-,+,-),(-,-,+)$ の 4 つの八分体である。不等式は $x,y,z$ のうち 2 つの符号を同時に反転しても変わらないので、4 つの体積は等しい。

第 1 八分体 $\theta ,\phi \in [0,\pi /2]$ の体積は次のとおり。
$$V_1=\int \int \frac{R^3}{3}\sin \theta d\theta d\phi =\frac{1}{3}{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^7\theta {\cos }^3\theta d\theta {\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{3}2\phi d\phi$$

各積分を計算する。
- $s=\sin \theta$ と置くと ${\int }_0^1{s}^7(1-s^2)ds=\frac{1}{8}-\frac{1}{10}=\frac{1}{40}$。
- $u=2\phi$ と置くと ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{3}2\phi d\phi =\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }{\sin }^{3}udu=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}=\frac{2}{3}$。

よって $V_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{40}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{180}$。

求める体積は $V=4V_1=\frac{1}{45}$。