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微分積分の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学微分積分

座標空間において、回転放物面 $z = x^{2} + y^{2}$ と平面 $z = 2 x + 4 y$ で囲まれた立体
$V = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} \leq z \leq 2 x + 4 y}$
の体積を求めよ。

この問題で使うもの

平方完成と 2 次関数のグラフ（説明と入口の問題）
重積分と累次積分（説明と入口の問題）
重積分の変数変換とヤコビアン（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（53 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

立体を $x y$ 平面に正射影した領域 $D$ を求め、体積を「上の面の高さ $-$ 下の面の高さ」の重積分で表しましょう。

ヒント 2

$x^{2} + y^{2} \leq 2 x + 4 y$ は平方完成すると $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} \leq 5$ となり、被積分関数も $5 - {(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2}}$ と書けます。

ヒント 3

中心 $(1, 2)$ の極座標 $x = 1 + r cos θ$ , $y = 2 + r sin θ$ を使うと、体積は $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{5} (5 - r^{2}) r d r d θ$ になります。

答えと解説

答えを見る

\frac{25 π}{2}

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解説を読む

$x y$ 平面への正射影 $V$ の点が存在するのは $x^{2} + y^{2} \leq 2 x + 4 y$ のとき、すなわち
$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} \leq 5$
のときである。この円板を $D$ とする。 $D$ 上の各点で $z$ は $x^{2} + y^{2}$ から $2 x + 4 y$ まで動くので、体積は
$Vol (V) = \iint_{D} {(2 x + 4 y) - (x^{2} + y^{2})} d x d y .$

被積分関数の変形
$(2 x + 4 y) - (x^{2} + y^{2}) = 5 - {(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2}} .$

極座標 $x = 1 + r cos θ$ , $y = 2 + r sin θ$ ( $0 \leq r \leq 5$ , $0 \leq θ \leq 2 π$ ) とおくと、ヤコビアンは $r$ であり、
$Vol (V) = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{5} (5 - r^{2}) r d r d θ = 2 π [\frac{5 r ^{2}}{2} - \frac{r ^{4}}{4}]_{0}^{5} = 2 π (\frac{25}{2} - \frac{25}{4}) = 2 π \cdot \frac{25}{4} = \frac{25 π}{2} .$

別解

$x^{2} + y^{2} \leq z \leq 2 x + 4 y$ が成り立つ $(x, y)$ の範囲は $x^{2} + y^{2} \leq 2 x + 4 y$ 、すなわち $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} \leq 5$ （中心 $(1, 2)$ 、半径 $5$ の円板 $E$ ）。
$u = x - 1$ , $v = y - 2$ とおくと $2 x + 4 y - (x^{2} + y^{2}) = 5 - u^{2} - v^{2}$ なので
$V = \iint_{E} (5 - u^{2} - v^{2}) d u d v = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{5} (5 - r^{2}) r d r d θ = 2 π [\frac{5 r ^{2}}{2} - \frac{r ^{4}}{4}]_{0}^{5} = 2 π (\frac{25}{2} - \frac{25}{4}) = \frac{25 π}{2} .$

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