整数の性質の問題

約数の個数の条件

$n=2^a\cdot 3^b$ の正の約数は $2^i\cdot 3^j$ $(0\le i\le a,0\le j\le b)$ と表せるので、その個数は $(a+1)(b+1)$ である。

条件より $(a+1)(b+1)=12$ である。$a\ge 1$, $b\ge 1$ より $a+1\ge 2$, $b+1\ge 2$ だから、
$$(a+1,b+1)=(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)$$
すなわち
$$(a,b)=(1,5),(2,3),(3,2),(5,1)$$
の 4 通りが候補となる。

偶数の約数の総和

偶数の約数は $2^i\cdot 3^j$ $(1\le i\le a,0\le j\le b)$ である。これらをすべて足したものは、
$$(2+2^2+\cdots +2^a)(1+3+\cdots +3^b)$$
を展開した式に等しい。等比数列の和の公式より
$$2+2^2+\cdots +2^a=2^{a+1}-2,1+3+\cdots +3^b=\frac{3^{b+1}-1}{2}$$
であるから、偶数の約数の総和を $S$ とすると
$$S=(2^{a+1}-2)\cdot \frac{3^{b+1}-1}{2}$$
となる。

各候補の計算

• $(a,b)=(1,5)$ のとき: $S=(4-2)\cdot \frac{729-1}{2}=2\cdot 364=728$
• $(a,b)=(2,3)$ のとき: $S=(8-2)\cdot \frac{81-1}{2}=6\cdot 40=240$
• $(a,b)=(3,2)$ のとき: $S=(16-2)\cdot \frac{27-1}{2}=14\cdot 13=182$
• $(a,b)=(5,1)$ のとき: $S=(64-2)\cdot \frac{9-1}{2}=62\cdot 4=248$

$S=240$ となるのは $(a,b)=(2,3)$ のときだけである。

よって、求める値は
$$n=2^2\cdot 3^3=4\cdot 27=108$$
である。

(確認: $108$ の偶数の約数は $2,4,6,12,18,36,54,108$ で、その和は $2+4+6+12+18+36+54+108=240$ となり、条件を満たす。)

$n=2^a{3}^b$ の約数の個数は $(a+1)(b+1)=12$ である。$a,b\ge 1$ より $(a,b)=(1,5),(2,3),(3,2),(5,1)$ の4通りに絞られる。

偶数の約数は $2^i{3}^j$ ($1\le i\le a,0\le j\le b$) の形なので、その総和は
$(2+2^2+\cdots +2^a)(1+3+\cdots +3^b)=(2^{a+1}-2)\cdot \frac{3^{b+1}-1}{2}$
となる。

• $(1,5)$: $2\cdot 364=728$
• $(2,3)$: $6\cdot 40=240$
• $(3,2)$: $14\cdot 13=182$
• $(5,1)$: $62\cdot 4=248$

和が $240$ になるのは $(a,b)=(2,3)$ のときだけで、$n=2^2\cdot 3^3=108$ である。

検算: $108$ の約数の総和は $(1+2+4)(1+3+9+27)=7\cdot 40=280$。奇数の約数の総和は $40$ なので、偶数の約数の総和は $280-40=240$ となり条件を満たす。約数の個数は $3\cdot 4=12$ で、これも条件を満たす。