整数の性質の問題

素因数分解の形を決める

$n$ を素因数分解したときの指数を $e_1,e_2,\dots$ とすると、約数の個数は $(e_1+1)(e_2+1)\cdots$ です。これが $6$ なので、$6=6$ または $6=3\times 2$ より、$n$ は次のどちらかの形です。

• $(\text{i})$ $n=p^5$
• $(\text{ii})$ $n=p^{2}q$

ただし $p,q$ は異なる素数とします。

$(\text{i})$ $n=p^5$ のとき

約数の総和は $1+p+p^2+p^3+p^4+p^5$ です。

• $p=2$ のとき $63$
• $p=3$ のとき $1+3+9+27+81+243=364$
• $p\geqq 5$ のとき $p^5\geqq 3125>1274$

いずれも $1274$ にならないので、この形の $n$ はありません。

$(\text{ii})$ $n=p^{2}q$ のとき

約数の総和は
$$(1+p+p^2)(1+q)=1274$$
です。

まず $1+p+p^2$ の値を絞ります。$1+p+p^2=1+p(p+1)$ で、$p(p+1)$ は偶数なので $1+p+p^2$ は奇数です。$1274=2\cdot 7^2\cdot 13$ の奇数の約数は $1,7,13,49,91,637$ です。$p\geqq 2$ より $1+p+p^2\geqq 7$ なので、候補は $7,13,49,91,637$ です。それぞれ調べます。

• $1+p+p^2=7$:$p^2+p-6=0$ より $(p+3)(p-2)=0$ なので $p=2$。このとき $1+q=\frac{1274}{7}=182$ より $q=181$。
• $1+p+p^2=13$:$p^2+p-12=0$ より $(p+4)(p-3)=0$ なので $p=3$。このとき $1+q=\frac{1274}{13}=98$ より $q=97$。
• $1+p+p^2=49$:$p^2+p-48=0$ の判別式は $1+192=193$ で、平方数でないので整数解はありません。
• $1+p+p^2=91$:$p^2+p-90=0$ より $(p+10)(p-9)=0$ なので $p=9$。$9$ は素数でないので不適です。
• $1+p+p^2=637$:このとき $1+q=2$ より $q=1$ となり、素数でないので不適です。

$q$ が素数かどうかを確かめる

$181$ について、$13^2=169<181<196=14^2$ なので、$13$ 以下の素数で割り切れるか調べれば十分です。$181$ は $2,3,5,7,11,13$ のいずれでも割り切れないので素数です。また $q=181\ne p=2$ です。

$97$ について、$9^2<97<10^2$ なので $7$ 以下の素数を調べれば十分です。$97$ は $2,3,5,7$ のいずれでも割り切れないので素数です。また $q=97\ne p=3$ です。

したがって次の $2$ つが得られます。

• $n=2^2\cdot 181=724$
• $n=3^2\cdot 97=873$

検算

• $724$ の約数は $1,2,4,181,362,724$ の $6$ 個で、総和は $7\times 182=1274$ です。
• $873$ の約数は $1,3,9,97,291,873$ の $6$ 個で、総和は $13\times 98=1274$ です。

以上より、求める $n$ は $724,873$ です。

正の約数の個数が $6$ なので、$n=p^5$ または $n=p^{2}q$（$p,q$ は異なる素数）の形である。$1274=2\cdot 7^2\cdot 13$ である。

(i) $n=p^5$ のとき、$\sigma (n)=1+p+p^2+p^3+p^4+p^5$ である。$p=2$ で $63$、$p=3$ で $364$、$p=5$ で $3906$ となり、$1274$ にならない。$p$ が大きくなると値は $1274$ を超えるので、解はない。

(ii) $n=p^{2}q$ のとき、$(1+p+p^2)(1+q)=1274$ である。$1+p+p^2$ は $1274$ の約数でなければならない。$1274$ の約数は $1,2,7,13,14,26,49,91,98,182,637,1274$ である。
$1+p+p^2=m$ すなわち $p(p+1)=m-1$ となる素数 $p$ を調べる。
- $m=7$ なら $p=2$。
- $m=13$ なら $p=3$。
- その他の約数では、$p^2+p=m-1$ を満たす整数 $p$ がないか、あっても素数でない（$m=91$ は $p=9$）。

$p=2$ のとき、$1+q=182$ より $q=181$。$181$ は素数である。$n=4\cdot 181=724$。
$p=3$ のとき、$1+q=98$ より $q=97$。$97$ は素数である。$n=9\cdot 97=873$。

検算：$\sigma (724)=(1+2+4)(1+181)=7\cdot 182=1274$、約数の個数は $3\cdot 2=6$。$\sigma (873)=(1+3+9)(1+97)=13\cdot 98=1274$、約数の個数は $3\cdot 2=6$。どちらも条件を満たす。

よって $n=724,873$。