整数の性質の問題

$n$ の正の約数の総和を $S$ とする。

逆数の和を $S$ で表す

$d$ が $n$ の正の約数全体を動くとき、$\frac{n}{d}$ も $n$ の正の約数全体をちょうど $1$ 回ずつ動く。よって
$$\sum _{d\mid n}\frac{1}{d}=\sum _{d\mid n}\frac{n/d}{n}=\frac{1}{n}\sum _{d\mid n}\frac{n}{d}=\frac{S}{n}$$
である。条件 $\frac{S}{n}=\frac{14}{9}$ より
$$9S=14n(1)$$
が成り立つ。

$n$ の形を決める

$n$ を素因数分解して $n=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$ とすると、約数の個数は $(e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_k+1)=6$ である。各因数 $e_i+1$ は $2$ 以上の整数なので、$6$ を $2$ 以上の整数の積で表す方法を考えると、$6$ そのもの、または $2\cdot 3$ のどちらかである。したがって、$n$ は次のどちらかの形である。ただし $p,q$ は異なる素数とする。
- $(\text{ア})$ $n=p^5$
- $(\text{イ})$ $n=p^{2}q$

$(\text{ア})$ の場合

$S=1+p+p^2+p^3+p^4+p^5$ である。$(1)$ より $9S=14p^5$ となる。左辺は $9$ の倍数で、$14$ と $9$ は互いに素だから、$p^5$ は $9$ の倍数である。よって $p=3$ である。

このとき $S=1+3+9+27+81+243=364$ なので、$9S=3276$、$14p^5=14\cdot 243=3402$ となり、等しくない。したがって $(\text{ア})$ の形の $n$ はない。

$(\text{イ})$ の場合

$S=(1+p+p^2)(1+q)$ である。$(1)$ より
$$9(1+p+p^2)(1+q)=14p^{2}q(2)$$
となる。

左辺は $9$ の倍数で、$14$ と $9$ は互いに素だから、$p^{2}q$ は $9$ の倍数である。$p\ne 3$ とすると、$p^{2}q$ に含まれる素因数 $3$ は高々 $1$ 個（それは $q=3$ のとき）なので、$p^{2}q$ は $9$ の倍数にならず矛盾する。よって $p=3$ である。

$p=3$ のとき $1+p+p^2=13$ なので、$(2)$ は
$$9\cdot 13(1+q)=14\cdot 9\cdot q$$
となる。両辺を $9$ で割ると $13+13q=14q$ となり、$q=13$ を得る。$13$ は素数で $p=3$ と異なるので適する。

よって $n=3^2\cdot 13=117$ である。

確認

$117$ の正の約数は $1,3,9,13,39,117$ の $6$ 個である。逆数の和は
$$\frac{117+39+13+9+3+1}{117}=\frac{182}{117}=\frac{14}{9}$$
となり、条件を満たす。

以上より、$n=117$ である。

約数の逆数の和は $\sigma (n)/n$ に等しいので、$\sigma (n)/n=\frac{14}{9}$ となる。約数が 6 個なので $n=p^5$ または $n=p^{2}q$（$p,q$ は異なる素数）。

(i) $n=p^5$ のとき、$\sigma (n)/n=1+\frac{1}{p}+\cdots +\frac{1}{p^5}$。$p=2$ で $\frac{63}{32}$、$p=3$ で $\frac{364}{243}$ となり、いずれも $\frac{14}{9}$ と異なる。$p\ge 5$ では 1.3 未満で小さすぎる。よって不適。

(ii) $n=p^{2}q$ のとき、$\left(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}\right)\left(1+\frac{1}{q}\right)=\frac{14}{9}$。整理すると $q(5p^2-9p-9)=9(p^2+p+1)$。
- $p=2$ では左辺の係数が負で不適。
- $p=3$ のとき $9q=117$ より $q=13$。これは素数で条件を満たす。
- $q\ge 2$ となるには $p^2-27p-27\le 0$、すなわち $p\le 27$ が必要。$p=5,7,11,13,17,19,23$ を順に調べると、$q$ はいずれも整数にならない。

よって $n=3^2\cdot 13=117$。

検算：約数は 1,3,9,13,39,117 の 6 個。$\sigma (117)=13\cdot 14=182$ で、$182/117=14/9$。