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整数の性質の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学A 整数の性質

正の整数 $n$ のうち、 $n^{3}$ の正の約数の個数が $n$ に等しいものをすべて求めよ。

この問題で使うもの

約数の個数と総和（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$n = p_{1}^{a_{1}} \dots p_{k}^{a_{k}}$ とおくと、条件は $p_{1}^{a_{1}} \dots p_{k}^{a_{k}} = (3 a_{1} + 1) \dots (3 a_{k} + 1)$ です。素因数ごとの比 $\frac{p ^{a}}{3 a + 1}$ の積が $1$ になる、と言い換えましょう。

ヒント 2

比 $\frac{p ^{a}}{3 a + 1}$ は $a$ について増加し、 $1$ より小さくなるのは $2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 3^{1}$ だけです。 $2$ と $3$ からの寄与の積は $\frac{3}{8}$ 以上なので、 $5$ 以上の素因数からの寄与の積は $\frac{8}{3}$ 以下でなければなりません。

ヒント 3

$5$ 以上の素因数は指数 $1$ で、 $5$ と $7$ しか使えない（ $5, 7, 5 \cdot 7$ のどれか、またはなし）ことがわかります。それぞれについて、 $2, 3$ の指数 $a, b$ で $\frac{2 ^{a} 3 ^{b}}{( 3 a + 1 ) ( 3 b + 1 )}$ がちょうど逆数になるものを探しましょう。

答えと解説

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1, 28, 40

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解説を読む

$n = 1$ のとき、 $n^{3} = 1$ の正の約数は $1$ 個なので条件を満たす。以下 $n ≧ 2$ とし、 $n$ を素因数分解して
$n = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \dots p_{k}^{a_{k}} (p_{1}, \dots, p_{k} は異なる素数, a_{i} ≧ 1)$
とする。 $n^{3} = p_{1}^{3 a_{1}} \dots p_{k}^{3 a_{k}}$ の正の約数の個数は $(3 a_{1} + 1) (3 a_{2} + 1) \dots (3 a_{k} + 1)$ だから、条件は
$\frac{p _{1}^{a_{1}}}{3 a _{1} + 1} \cdot \frac{p _{2}^{a_{2}}}{3 a _{2} + 1} \dots \frac{p _{k}^{a_{k}}}{3 a _{k} + 1} = 1$
である。素数 $p$ と正の整数 $a$ に対して $g (p, a) = \frac{p ^{a}}{3 a + 1}$ とおき、各素因数の「寄与」 $g$ の積が $1$ になる場合を調べる。

$g$ の大きさ. $\frac{g ( p , a + 1 )}{g ( p , a )} = \frac{p ( 3 a + 1 )}{3 a + 4} ≧ \frac{2 ( 3 a + 1 )}{3 a + 4} > 1$ （ $a ≧ 1$ ）なので、 $g (p, a)$ は $a$ について増加する。

$p = 2$ : $g = \frac{1}{2}, \frac{4}{7}, \frac{4}{5}, \frac{16}{13}, 2, \dots$ （ $a = 1, 2, 3, 4, 5, \dots$ ）
$p = 3$ : $g = \frac{3}{4}, \frac{9}{7}, \frac{27}{10}, \dots$
$p ≧ 5$ : $g (p, 1) = \frac{p}{4} ≧ \frac{5}{4}$ 、 $g (p, 2) = \frac{p ^{2}}{7} ≧ \frac{25}{7}$

よって $g < 1$ となりうるのは $2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 3^{1}$ だけで、 $2$ と $3$ からの寄与の積 $G$ は $G ≧ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ を満たす。

5 以上の素因数を絞る. $5$ 以上の素因数からの寄与の積を $H$ とすると、 $H ≧ 1$ で $G H = 1$ だから $H = \frac{1}{G} ≦ \frac{8}{3}$ である。 $5$ 以上の素因数の指数が $2$ 以上なら $H ≧ \frac{25}{7} > \frac{8}{3}$ となるので、指数はすべて $1$ で $H = \prod \frac{p}{4}$ である。 $\frac{11}{4} > \frac{8}{3}$ 、 $\frac{5}{4} \cdot \frac{11}{4} = \frac{55}{16} > \frac{8}{3}$ なので $11$ 以上の素因数は含まれず、 $H$ は
$1 (なし), \frac{5}{4} (5), \frac{7}{4} (7), \frac{35}{16} (5 と 7)$
のいずれかである。

$G$ の値. $n$ に含まれる $2, 3$ の指数を $a, b$ （ $0$ 以上）とすると $G = \frac{2 ^{a} 3 ^{b}}{( 3 a + 1 ) ( 3 b + 1 )}$ である。 $G ≦ 1$ となる $(a, b)$ と $G$ の値は、 $g$ が増加することから次ですべてである（ $(0, 0)$ は $G = 1$ ）。
$b = 0 b = 1 b = 2 a = 0 1 \frac{3}{4} \frac{9}{7} a = 1 \frac{1}{2} \frac{3}{8} \frac{9}{14} a = 2 \frac{4}{7} \frac{3}{7} \frac{36}{49} a = 3 \frac{4}{5} \frac{3}{5} \frac{36}{35} a = 4 \frac{16}{13} \frac{12}{13}$
（ $b = 1$ で $a = 5$ なら $\frac{96}{64} > 1$ 、 $b = 2$ で $a ≧ 3$ なら $> 1$ 、 $b ≧ 3$ なら $a ≧ 1$ で $G ≧ \frac{54}{40} > 1$ 、 $a = 0$ で $G ≧ \frac{27}{10} > 1$ 。）

$G = \frac{1}{H}$ となる場合.

$H = 1$ : $G = 1$ となるのは $(a, b) = (0, 0)$ だけで、これは $n = 1$ となり $n ≧ 2$ に反する。
$H = \frac{5}{4}$ : $G = \frac{4}{5}$ となるのは $(a, b) = (3, 0)$ だけ。 $n = 2^{3} \cdot 5 = 40$ 。
$H = \frac{7}{4}$ : $G = \frac{4}{7}$ となるのは $(a, b) = (2, 0)$ だけ。 $n = 2^{2} \cdot 7 = 28$ 。
$H = \frac{35}{16}$ : $G = \frac{16}{35}$ となる $(a, b)$ は表にない。

確認. $2 8^{3} = 2^{6} \cdot 7^{3}$ の正の約数の個数は $7 \cdot 4 = 28$ 、 $4 0^{3} = 2^{9} \cdot 5^{3}$ の正の約数の個数は $10 \cdot 4 = 40$ で、ともに条件を満たす。

以上より、求める $n$ は $n = 1, 28, 40$ である。

別解

$n = p_{1}^{a_{1}} \dots p_{k}^{a_{k}}$ とすると $n^{3} = \prod p_{i}^{3 a_{i}}$ なので、 $n^{3}$ の正の約数の個数は $\prod (3 a_{i} + 1)$ 。条件は $\prod (3 a_{i} + 1) = \prod p_{i}^{a_{i}}$ 。

各素因数について比 $r (p, a) = \frac{p ^{a}}{3 a + 1}$ を考える。条件は $\prod r (p_{i}, a_{i}) = 1$ である。

$r (p, a) < 1$ となるのは次の場合だけ:
$r (2, 1) = \frac{1}{2}, r (2, 2) = \frac{4}{7}, r (2, 3) = \frac{4}{5}, r (3, 1) = \frac{3}{4}$ 。
（ $2^{a}$ は $a \geq 4$ で $2^{a} > 3 a + 1$ 、 $3^{a}$ は $a \geq 2$ で $3^{a} > 3 a + 1$ 、 $p \geq 5$ では $p^{a} \geq 5^{a} > 3 a + 1$ 。特に $p \geq 5$ では $r (p, a) \geq r (5, 1) = \frac{5}{4}$ 。）

・ $n = 1$ : $1^{3}$ の約数は $1$ 個で成り立つ。

・ $n$ が $2$ で割り切れないとき: $1$ より小さい比は $r (3, 1) = \frac{3}{4}$ のみ。他の素数の比は $\frac{5}{4}$ 以上で、積が $\frac{4}{3}$ になる組合せはない（ $\frac{5}{4} < \frac{4}{3} < \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{4}$ 、単独では $r (5, 1) = \frac{5}{4}$ , $r (7, 1) = \frac{7}{4}$ , $r (5, 2) = \frac{25}{7}$ などで $\frac{4}{3}$ にならない）。 $3$ を含まなければ全部 $1$ より大きい。よって $n = 1$ のみ。

・ $2^{a} ∥ n$ （ $a \geq 1$ ）のとき:
(a=1) $4 \cdot D (m) = 2 m$ （ $n = 2 m$ , $m$ は奇数）より $m = 2 D (m)$ は偶数となり矛盾。
(a=2) $\prod$ の因数 $7$ が $n$ を割るので $7 ∣ n$ 。 $r (2, 2) r (7, b) = \frac{4}{7} \cdot \frac{7 ^{b}}{3 b + 1}$ 。 $b = 1$ で $\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4} = 1$ 。残りの素因数の比の積は $1$ でなければならず、 $3$ を含むと $\frac{3}{4}$ を打ち消すには $\frac{4}{3}$ が必要でできないから、残りはなし。 $n = 2^{2} \cdot 7 = 28$ 。 $b \geq 2$ では $\frac{4}{7} \cdot \frac{49}{7} = 4$ 以上で、残りの比は $\frac{3}{4}$ 以上だから積は $1$ を超え不適。
(a=3) $\prod$ の因数 $10$ から $5 ∣ n$ 。 $r (2, 3) r (5, 1) = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4} = 1$ で、残りはなし（ $3$ を含むと $\frac{3}{4}$ を消せない）。 $n = 2^{3} \cdot 5 = 40$ 。 $5$ の指数 $b \geq 2$ では $\frac{4}{5} \cdot \frac{25}{7} \cdot \frac{3}{4} > 1$ で不適。また $3$ を含み $5$ の指数 $1$ の場合は残りの比の積が $\frac{4}{3}$ 必要で不可能。
(a=4) $r (2, 4) = \frac{16}{13}$ 。 $1$ 未満の比は $r (3, 1) = \frac{3}{4}$ のみで、 $\frac{16}{13} \cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{13}$ 。残りに $\frac{13}{12}$ が必要だが、 $p \geq 5$ の比は $\frac{5}{4}$ 以上で不可能。 $3$ を含まなければ全て $1$ より大きく不適。
(a≥5) $r (2, a) \geq 2$ 、 $2 \cdot \frac{3}{4} > 1$ なので積は $1$ にならない。

以上より $n = 1, 28, 40$ 。

確かめ: $2 8^{3} = 2^{6} \cdot 7^{3}$ の約数の個数は $7 \cdot 4 = 28$ 。 $4 0^{3} = 2^{9} \cdot 5^{3}$ の約数の個数は $10 \cdot 4 = 40$ 。 $1^{3} = 1$ の約数の個数は $1$ 。

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