整数の性質の問題

方針 素因数ごとに $\frac{p^e}{e+1}$ という量を考え、その積が $24$ になる場合を調べる。

1. 積の形に直す

$n=24d(n)$ より $n$ は $24=2^3\cdot 3$ の倍数である。そこで $n=2^a\cdot 3^b\cdot m$（$a\geqq 3,b\geqq 1$、$m$ は $2$ でも $3$ でも割り切れない正の整数）とおく。$m=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ と素因数分解すると $$d(n)=(a+1)(b+1)(e_1+1)\cdots (e_k+1)$$ である。素数 $p$ と正の整数 $e$ に対して $f(p^e)=\frac{p^e}{e+1}$ と定めると、条件 $\frac{n}{d(n)}=24$ は $$f(2^a)f(3^b)f(p_1^{e_1})\cdots f(p_k^{e_k})=24(\ast )$$ と同値である。

2. $f$ の増加性

$\frac{f(p^{e+1})}{f(p^e)}=\frac{p(e+1)}{e+2}\geqq \frac{2(e+1)}{e+2}=1+\frac{e}{e+2}>1$ なので、$f(p^e)$ は $e$ について増加する。具体的な値は次のとおりである。
- $f(2^a)$（$a\geqq 3$）: $a=3$ のとき $2$、$a=4$ のとき $\frac{16}{5}$、$a=5$ のとき $\frac{16}{3}$、$a=6$ のとき $\frac{64}{7}$、$a=7$ のとき $16$、$a=8$ のとき $\frac{256}{9}$
- $f(3^b)$（$b\geqq 1$）: $b=1$ のとき $\frac{3}{2}$、$b=2$ のとき $3$、$b=3$ のとき $\frac{27}{4}$、$b=4$ のとき $\frac{81}{5}$

3. $m$ の候補を絞る

$f(2^a)\geqq 2$、$f(3^b)\geqq \frac{3}{2}$ より $f(2^a)f(3^b)\geqq 3$ である。よって $(\ast )$ から $m$ の部分の積は $\frac{24}{3}=8$ 以下でなければならない。

$p\geqq 5$ の素数では $f(p^e)\geqq f(p)=\frac{p}{2}\geqq \frac{5}{2}>1$ である。具体的な値は
- $f(5)=\frac{5}{2}$、$f(7)=\frac{7}{2}$、$f(11)=\frac{11}{2}$、$f(13)=\frac{13}{2}$
- $p\geqq 17$ のとき $f(p)\geqq \frac{17}{2}>8$
- $f(5^2)=\frac{25}{3}>8$
- $f(5)f(7)=\frac{35}{4}>8$

したがって $m\in \{1,5,7,11,13\}$ に限られる。

4. 場合分け

(i) $m=1$ のとき、$f(2^a)f(3^b)=24$ が必要である。
- $f(3^b)\geqq \frac{3}{2}$ より $f(2^a)\leqq 16$ なので $3\leqq a\leqq 7$。
- $f(2^a)\geqq 2$ より $f(3^b)\leqq 12$ なので $1\leqq b\leqq 3$。
- $f(2^a)$ の候補 $2,\frac{16}{5},\frac{16}{3},\frac{64}{7},16$ のそれぞれについて、相手に必要な値は順に $12,\frac{15}{2},\frac{9}{2},\frac{21}{8},\frac{3}{2}$ である。
- $f(3^b)\in \{\frac{3}{2},3,\frac{27}{4}\}$ に含まれるのは $\frac{3}{2}$ だけである。

よって $a=7,b=1$ となり、$n=2^7\cdot 3=384$。

(ii) $m=5$ のとき、$f(2^a)f(3^b)=\frac{24}{5/2}=\frac{48}{5}$ が必要である。
- $f(2^a)\leqq \frac{48}{5}÷\frac{3}{2}=\frac{32}{5}$ より $a\in \{3,4,5\}$。
- $f(3^b)\leqq \frac{48}{5}÷2=\frac{24}{5}$ より $b\in \{1,2\}$。
- 積は $2\cdot \frac{3}{2}=3$、$2\cdot 3=6$、$\frac{16}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{24}{5}$、$\frac{16}{5}\cdot 3=\frac{48}{5}$、$\frac{16}{3}\cdot \frac{3}{2}=8$、$\frac{16}{3}\cdot 3=16$ である。

$\frac{48}{5}$ になるのは $a=4,b=2$ のときだけで、$n=2^4\cdot 3^2\cdot 5=720$。

(iii) $m=7$ のとき、$f(2^a)f(3^b)=\frac{48}{7}$ が必要である。
- $f(2^a)\leqq \frac{32}{7}$ より $a\in \{3,4\}$。
- $f(3^b)\leqq \frac{24}{7}$ より $b\in \{1,2\}$。
- 積は $3,6,\frac{24}{5},\frac{48}{5}$ で、どれも $\frac{48}{7}$ ではない。解なし。

(iv) $m=11$ のとき、必要な積は $\frac{48}{11}$ である。
- $f(2^a)\leqq \frac{32}{11}<\frac{16}{5}$ より $a=3$。
- $f(3^b)\leqq \frac{24}{11}<3$ より $b=1$。
- 積は $3\ne \frac{48}{11}$ なので解なし。

(v) $m=13$ のとき、必要な積は $\frac{48}{13}$ である。同様に $a=3,b=1$ に限られ、積は $3\ne \frac{48}{13}$ なので解なし。

5. 確認
- $d(384)=(7+1)(1+1)=16$ で、$24\cdot 16=384$。
- $d(720)=(4+1)(2+1)(1+1)=30$ で、$24\cdot 30=720$。

よって求める $n$ は $384,720$ である。

$n=24d(n)$ より $n$ は $24$ の倍数。$n=2^a{3}^{b}m$（$a\ge 3,b\ge 1,\gcd (m,6)=1$）とおく。$d(n)=(a+1)(b+1)d(m)$ なので、与式は $2^{a-3}{3}^{b-1}m=(a+1)(b+1)d(m)$、すなわち
$$\frac{m}{d(m)}=h(a,b):=\frac{(a+1)(b+1)}{2^{a-3}{3}^{b-1}}$$
となる。

(i) $m=1$ のとき $h(a,b)=1$ を解く。
$b=1$ なら $2^{a-4}=a+1$ で、$a=7$ のとき $8=8$ が成り立つ。これは $n=2^7\cdot 3=384$。
$b=2$ なら $2^{a-3}=a+1$ で、$a=3,\dots ,6$ では $1,2,4,8$ と $4,5,6,7$ になり不成立。$a\ge 7$ では左辺が大きすぎる。
$b=3$ なら $9\cdot 2^{a-3}=4(a+1)$ で、$a=3,4,5$ のとき $9$ と $16$、$18$ と $20$、$36$ と $24$ になり不成立。
$b\ge 4$ では $3^{b-1}/(b+1)\ge 27/5$ で、$2^{a-3}/(a+1)\ge 1/4$ なので左辺が右辺より大きく不成立。
よって $m=1$ の解は $384$ のみ。

(ii) $m>1$ のとき、$h$ の最大値は $h(3,1)=8$ なので $m/d(m)\le 8$ が必要。
$m$ が素数 $p\ge 5$ なら $p/2\le 8$ より $p=5,7,11,13$。
$m$ が素数でない場合：$25$ は $25/3>8$、$35$ は $35/4>8$、その他の合成数も $m/d(m)>8$ となる。
$m=5$ のとき $m/d(m)=5/2$。$h(4,2)=15/6=5/2$ なので $n=2^4\cdot 3^2\cdot 5=720$。ほかの $(a,b)$ では $5/2$ にならない。
$m=7,11,13$ のとき $m/d(m)=7/2,11/2,13/2$。$h$ の値 $8,5,3,4,5/2,\dots$ のどれとも一致しない。

検算：$d(384)=d(2^7\cdot 3)=8\cdot 2=16$、$24\cdot 16=384$。$d(720)=d(2^4\cdot 3^2\cdot 5)=5\cdot 3\cdot 2=30$、$24\cdot 30=720$。

答え：$n=384,720$