整数の性質の問題

$n=8d(n)$ より $n$ は $8$ の倍数である。そこで $n=2^{a}m$（$a\geqq 3$、$m$ は正の奇数）と表す。$2^a$ と $m$ は互いに素なので $d(n)=(a+1)d(m)$ であり、条件は
$$2^{a}m=8(a+1)d(m)\text{すなわち}\frac{m}{d(m)}=\frac{a+1}{2^{a-3}}(1)$$
となる。

奇数 $m$ についての評価

$m=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$（$p_i$ は相異なる奇数の素数、$e_i\geqq 1$）と素因数分解すると $d(m)=(e_1+1)\cdots (e_k+1)$ なので
$$\frac{m}{d(m)}=\frac{p_1^{e_1}}{e_1+1}\cdot \frac{p_2^{e_2}}{e_2+1}\cdots \frac{p_k^{e_k}}{e_k+1}$$
である（$m=1$ のときは $1$）。各因数 $g(p,e)=\frac{p^e}{e+1}$ について、
$$\frac{g(p,e+1)}{g(p,e)}=\frac{p(e+1)}{e+2}>1$$
だから $g(p,e)$ は $e$ について増加する。よって
- $p=3$ のとき $g(3,1)=\frac{3}{2},g(3,2)=3,g(3,3)=\frac{27}{4},\dots$ で、$g\geqq \frac{3}{2}$
- $p\geqq 5$ のとき $g(p,e)\geqq g(p,1)=\frac{p}{2}\geqq \frac{5}{2}$

特に $m\geqq 3$ なら $\frac{m}{d(m)}\geqq \frac{3}{2}$ であり、$m=1$ なら $\frac{m}{d(m)}=1$ である。

$a$ の範囲

$(1)$ の右辺 $h(a)=\frac{a+1}{2^{a-3}}$ は $h(3)=4,h(4)=\frac{5}{2},h(5)=\frac{3}{2},h(6)=\frac{7}{8}$ で、$\frac{h(a+1)}{h(a)}=\frac{a+2}{2(a+1)}<1$ より減少する。$a\geqq 6$ では $h(a)<1$ となり $(1)$ は成り立たない。よって $a=3,4,5$ を調べればよい。また $h(a)\ne 1$ なので $m\geqq 3$ である。

$a=5$ のとき: $\frac{m}{d(m)}=\frac{3}{2}$。因数が $2$ 個以上あると積は ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2>\frac{3}{2}$ 以上になるので、因数は $1$ 個で $g(p,e)=\frac{3}{2}$。これは $p=3,e=1$ のときだけである。よって $m=3$、$n=32\cdot 3=96$。

$a=4$ のとき: $\frac{m}{d(m)}=\frac{5}{2}$。
- 因数が $1$ 個: $g(3,e)$ は $\frac{3}{2},3,\dots$ で $\frac{5}{2}$ にならない。$p\geqq 5$ では $g(p,e)\geqq \frac{5}{2}$ で、等号は $p=5,e=1$ のときだけ。よって $m=5$。
- 因数が $2$ 個以上: $3$ の因数があると、残りは $\frac{5}{2}÷g(3,e)\leqq \frac{5}{3}<\frac{5}{2}$ となり、それは $5$ 以上の素数の因数 $\left(\geqq \frac{5}{2}\right)$ にはなれない。$3$ の因数がなければ積は ${\left(\frac{5}{2}\right)}^2>\frac{5}{2}$ 以上。いずれも不適。

よって $m=5$、$n=16\cdot 5=80$。

$a=3$ のとき: $\frac{m}{d(m)}=4$。
- 因数が $1$ 個: $p^e=4(e+1)$ となる奇数の素数 $p$ を探す。$p^e$ は奇数だが $4(e+1)$ は偶数なので不可能。
- 因数が $2$ 個以上: $3$ の因数がない場合、積は $\frac{5}{2}\cdot \frac{7}{2}>4$ 以上（相異なる $5$ 以上の素数の因数は $\frac{5}{2}$ と $\frac{7}{2}$ 以上）で不適。$3$ の因数 $g(3,e)$ がある場合、$g(3,e)\geqq 3$ なら残りは $\frac{4}{3}$ 以下で $\frac{5}{2}$ 未満となり不適。$g(3,1)=\frac{3}{2}$ なら残りは $\frac{8}{3}$ である。残りが因数 $1$ 個なら $\frac{p^e}{e+1}=\frac{8}{3}$ すなわち $3p^e=8(e+1)$ だが、左辺は奇数・右辺は偶数で不可能。残りが $2$ 個以上なら $\frac{5}{2}\cdot \frac{7}{2}>\frac{8}{3}$ 以上で不適。

よって $a=3$ のときは解がない。

確認: $80=2^4\cdot 5$ で $d(80)=5\cdot 2=10$、$8\cdot 10=80$。$96=2^5\cdot 3$ で $d(96)=6\cdot 2=12$、$8\cdot 12=96$。

以上より、求める $n$ は $n=80,96$ である。

$n=8d(n)$ より $n$ は $8$ の倍数。$n=2^{a}m$（$a\geqq 3$、$m$ は奇数）とおくと $d(n)=(a+1)d(m)$ なので、条件は
$$(a+1)d(m)=2^{a-3}m\cdots (\ast )$$
となる。$d(m)\leqq m$ なので $a+1\geqq 2^{a-3}$ が必要。$a=6$ のとき $7\geqq 8$ は偽で、$a\geqq 6$ では $2^{a-3}>a+1$ だから $a\leqq 5$。よって $a=3,4,5$ を調べる。

$a=3$: $4d(m)=m$。$m$ は奇数なのに右辺... 左辺は偶数であるから不適。

$a=4$: $5d(m)=2m$。$m$ は奇数なので $d(m)$ は偶数。$d(m)=2k$ とおくと $m=5k$（$m$ が奇数なので $k$ は奇数）。$d(5k)=2k$。一般に $d(x)\leqq 2\sqrt{x}$ なので $2k\leqq 2\sqrt{5k}$、$k\leqq 5$。$k=1$: $m=5$, $d(5)=2$ ✓。$k=3$: $m=15$, $d=4\ne 6$。$k=5$: $m=25$, $d=3\ne 10$。よって $m=5$、$n=16\cdot 5=80$。

$a=5$: $6d(m)=4m$、つまり $3d(m)=2m$。$d(m)=2j$ とおくと $m=3j$（$j$ は奇数）、$d(3j)=2j\leqq 2\sqrt{3j}$ より $j\leqq 3$。$j=1$: $m=3$, $d(3)=2$ ✓。$j=3$: $m=9$, $d=3\ne 6$。よって $m=3$、$n=32\cdot 3=96$。

（$d(x)\leqq 2\sqrt{x}$ は、約数が $\sqrt{x}$ 以下のものと以上のものの対になることから従う。）

検算: $d(80)$: $80=2^4\cdot 5$ なので $5\cdot 2=10$、$8\cdot 10=80$ ✓。$d(96)$: $96=2^5\cdot 3$ なので $6\cdot 2=12$、$8\cdot 12=96$ ✓。

よって $n=80,96$。