整数の性質の問題

$n^2+2$ を $n+4$ で割ると
$$n^2+2=(n+4)(n-4)+18$$
となります。

整数 $a,b,q,r$ が $a=bq+r$ を満たすとき、$a$ と $b$ の最大公約数は $b$ と $r$ の最大公約数に等しくなります（ユークリッドの互除法の原理）。これを用いると
$$\gcd (n^2+2,n+4)=\gcd (n+4,18)$$
が成り立ちます。

ここで $m=n+4$ とおくと、$1\leqq n\leqq 200$ より $5\leqq m\leqq 204$ です。条件は $\gcd (m,18)=6$ となることです。

$18=2\cdot 3^2$ ですから、$\gcd (m,18)=6$ となるのは、$m$ が $2$ と $3$ で割り切れ、$9$ で割り切れないときです。言い換えると「$m$ は $6$ の倍数であり、$18$ の倍数ではない」ときです（$m$ が偶数なので、$9$ の倍数であることは $18$ の倍数であることと同じです）。

• $5\leqq m\leqq 204$ の範囲にある $6$ の倍数は $6,12,\dots ,204$ です。$204=6\cdot 34$ なので、その個数は $34$ 個です。
• このうち $18$ の倍数は $18,36,\dots ,198$ です。$198=18\cdot 11$ なので、その個数は $11$ 個です。

したがって、求める個数は
$$34-11=23$$
です。

（確認：$n=2$ のとき $n^2+2=6$、$n+4=6$ で、最大公約数は $6$ となり条件を満たします。$n=14$ のとき $n^2+2=198$、$n+4=18$ で、最大公約数は $18$ となり条件を満たしません。）

ユークリッドの互除法より、$n^2+2=(n+4)(n-4)+18$ なので $\gcd (n^2+2,n+4)=\gcd (n+4,18)$。
$m=n+4$ とおくと $5\leqq m\leqq 204$。$\gcd (m,18)=6$ となる条件は、$m$ が $6$ の倍数で、かつ $18$ の倍数でないこと（$6$ の倍数なら gcd は $6$ か $18$ のどちらかで、$18$ になるのは $18\mid m$ のとき）。
$5\leqq m\leqq 204$ の範囲で $6$ の倍数は $6,12,\dots ,204$ の $34$ 個。$18$ の倍数は $18,36,\dots ,198$ の $11$ 個。
よって $34-11=23$ 個。
検算：$n=2$ のとき $m=6$、$n^2+2=6$、gcd(6,6)=6 で OK。$n=14$ のとき $m=18$、$n^2+2=198$、gcd(198,18)=18 で除外されることを確認。