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整数の性質の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 整数の性質

$200$ の正の約数の個数と、正の約数の総和を、この順に求めよ。

この問題で使うもの

約数の個数と総和（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「約数の個数と総和」の公式を使います。まず $200$ を素因数分解しましょう。

ヒント 2

$n = p^{a} q^{b}$ のとき、正の約数の個数は $(a + 1) (b + 1)$ 、総和は $(1 + p + \dots + p^{a}) (1 + q + \dots + q^{b})$ です。

ヒント 3

$200 = 2^{3} \cdot 5^{2}$ なので、個数は $(3 + 1) (2 + 1)$ 、総和は $(1 + 2 + 4 + 8) (1 + 5 + 25)$ を計算します。

答えと解説

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(12, 465)

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解説を読む

手順1：素因数分解する

$200$ を素因数分解すると
$200 = 2^{3} \cdot 5^{2}$

手順2：約数の形を考える

$200$ の正の約数は、 $2^{x} \cdot 5^{y}$ の形で表せる。ここで $x$ は $0, 1, 2, 3$ の $4$ 通り、 $y$ は $0, 1, 2$ の $3$ 通りの値をとり、 $(x, y)$ の組が異なれば約数も異なる。

手順3：個数を求める

積の法則により、正の約数の個数は
$(3 + 1) (2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12 (個)$

手順4：総和を求める

積
$(1 + 2 + 2^{2} + 2^{3}) (1 + 5 + 5^{2})$
を展開すると、 $2^{x} \cdot 5^{y}$ の形の項 $12$ 個がちょうど $1$ 回ずつ現れる。そのため、この積が正の約数の総和になる。
$(1 + 2 + 4 + 8) (1 + 5 + 25) = 15 \cdot 31 = 465$

確認

約数を並べると $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200$ の $12$ 個で、その和は $465$ になり、上の結果と一致する。

よって、個数と総和は順に $(12, 465)$ である。

別解

$200 = 2^{3} \times 5^{2}$ と素因数分解できる。
正の約数の個数は $(3 + 1) (2 + 1) = 12$ 個。
正の約数の総和は $(1 + 2 + 4 + 8) (1 + 5 + 25) = 15 \times 31 = 465$ 。
検算：約数は 1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,200 の12個で、和は 1+2+4+5+8=20、+10+20=50、+25=75、+40=115、+50=165、+100=265、+200=465 となり一致する。

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