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整数の性質の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 整数の性質

$200$ の正の約数の個数と、正の約数の総和を求めよ。答えは（個数, 総和）の順の組で答えよ。

この問題で使うもの

約数の個数と総和（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「約数の個数と総和」の公式を使う。まず $200$ を素因数分解しよう。

ヒント 2

$n = p^{a} q^{b}$ のとき、正の約数の個数は $(a + 1) (b + 1)$ 、総和は $(1 + p + \dots + p^{a}) (1 + q + \dots + q^{b})$ で求められる。

ヒント 3

$200 = 2^{3} \cdot 5^{2}$ である。個数は $(3 + 1) (2 + 1)$ 、総和は $(1 + 2 + 4 + 8) (1 + 5 + 25)$ を計算すればよい。

答えと解説

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(12, 465)

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解説を読む

手順1：素因数分解する

$200 = 2 \times 100 = 2 \times 2 \times 50 = 2 \times 2 \times 2 \times 25$ より、
$200 = 2^{3} \cdot 5^{2}$
である。

手順2：約数の形を考える

$200$ の正の約数は、 $2^{x} \cdot 5^{y}$ の形で表される。ここで、 $x$ は $0, 1, 2, 3$ の $4$ 通り、 $y$ は $0, 1, 2$ の $3$ 通りから選ぶ。

手順3：個数を求める

$x$ の選び方 $4$ 通りのそれぞれに対して、 $y$ の選び方が $3$ 通りある。積の法則より、正の約数の個数は
$(3 + 1) (2 + 1) = 4 \times 3 = 12 (個)$
である。

手順4：総和を求める

次の積を展開する。
$(1 + 2 + 2^{2} + 2^{3}) (1 + 5 + 5^{2})$
展開すると、 $2^{x} \cdot 5^{y}$ の形の項がすべての組 $(x, y)$ について $1$ つずつ現れる。つまり、展開した式は $200$ の正の約数をちょうど $1$ 回ずつ足したものになる。よって、総和は
$(1 + 2 + 4 + 8) (1 + 5 + 25) = 15 \times 31 = 465$
である。

（確認：約数は $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200$ の $12$ 個で、これらを足すと $465$ になる。）

答えは $(12, 465)$ である。

別解

$200 = 2^{3} \cdot 5^{2}$ と素因数分解できる。
正の約数の個数は $(3 + 1) (2 + 1) = 12$ 。
正の約数の総和は $(1 + 2 + 4 + 8) (1 + 5 + 25) = 15 \cdot 31 = 465$ 。
検算：約数は $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200$ の12個。和は $1 + 2 + 4 + 5 + 8 = 20$ 、 $+ 10 + 20 = 50$ 、 $+ 25 + 40 = 115$ 、 $+ 50 + 100 = 265$ 、 $+ 200 = 465$ 。これは上の結果と一致する。
答えは $(12, 465)$ 。

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