整数の性質の問題

手順1：特殊解を1つ見つける。
$x=2$ とすると $4y=150-14=136$ より $y=34$ となる。よって $(x,y)=(2,34)$ は解の1つである。

手順2：一般解を求める。
$$7x+4y=150,7\cdot 2+4\cdot 34=150$$
の辺々を引くと
$$7(x-2)+4(y-34)=0$$
すなわち
$$7(x-2)=-4(y-34)$$
となる。$7$ と $4$ は互いに素なので、$x-2$ は $4$ の倍数である。$x-2=4k$（$k$ は整数）とおくと、$y-34=-7k$ となる。よって一般解は
$$x=4k+2,y=-7k+34(k\text{ は整数})$$

手順3：正の条件から $k$ の範囲を求める。
$x>0$ より $4k+2>0$ だから $k>-\frac{1}{2}$、すなわち $k\geqq 0$ である。
$y>0$ より $-7k+34>0$ だから $k<\frac{34}{7}=4.85\cdots$、すなわち $k\leqq 4$ である。
したがって $k=0,1,2,3,4$ となる。

手順4：条件を満たす解を選び出す。
$x=4k+2$ は $k$ が大きいほど大きい。よって $x$ が最大になるのは $k=4$ のときで、
$$x=4\cdot 4+2=18,y=-7\cdot 4+34=6$$
となる。

検算： $7\cdot 18+4\cdot 6=126+24=150$ であり、確かに成り立つ。

答えは $(x,y)=(18,6)$ である。

$7x+4y=150$ で $y\ge 1$ より $7x\le 146$ なので $x\le 20$。
$7x=150-4y$ を $\mathrm{mod}4$ で考える。$150\equiv 2$、$7x\equiv 3x\equiv -x$ なので $-x\equiv 2(\mathrm{mod}4)$、すなわち $x\equiv 2(\mathrm{mod}4)$。
$20$ 以下で最大の $x$ は $x=18$。
このとき $4y=150-126=24$ より $y=6$。
検算: $7\cdot 18+4\cdot 6=126+24=150$ で成り立つ。
$x=19,20$ は $x\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ を満たさず、$x=19$ では $4y=17$、$x=20$ では $4y=10$ となり $y$ が整数にならない。
よって求める組は $(18,6)$。