整数の性質の問題

1. 特殊解を見つける

まず $11x+7y=1$ の整数解を 1 つ見つける。

$$11\cdot 2+7\cdot (-3)=22-21=1$$

であるから、両辺を $500$ 倍すると

$$11\cdot 1000+7\cdot (-1500)=500$$

となる。

2. 一般解を求める

$11x+7y=500$ からこの式を引くと

$$11(x-1000)=-7(y+1500)$$

となる。$11$ と $7$ は互いに素であるから、$x-1000$ は $7$ の倍数である。$m$ を整数として $x-1000=7m$ とおくと、$y+1500=-11m$ となる。よって

$$x=1000+7m,y=-1500-11m$$

である。

扱いやすくするため $m=k-142$ とおくと、$7\cdot 142=994$、$11\cdot 142=1562$ より

$$x=7k+6,y=62-11k(k\text{は整数})$$

となる。確認すると $11\cdot 6+7\cdot 62=66+434=500$ である。

3. 正の整数となる範囲を求める

• $x=7k+6\geqq 1$ より $k\geqq -\frac{5}{7}$ であり、$k$ は整数なので $k\geqq 0$ となる。
• $y=62-11k\geqq 1$ より $k\leqq \frac{61}{11}=5.5\cdots$ であり、$k\leqq 5$ となる。

よって $k=0,1,2,3,4,5$ である。

4. $|x-y|$ を調べる

$$x-y=(7k+6)-(62-11k)=18k-56$$

であるから、$|x-y|=|18k-56|$ となる。各 $k$ について計算すると、次のようになる。

最小値は $k=3$ のときの $2$ であり、最小となる $k$ はただ 1 つである。

$k=3$ のとき $x=7\cdot 3+6=27$、$y=62-33=29$ である。

確認: $11\cdot 27+7\cdot 29=297+203=500$ となり、条件を満たす。

よって求める組は $(x,y)=(27,29)$ である。

$11x+7y=500$ を $7$ を法として考えると、$4x\equiv 3(\mathrm{mod}7)$ となる。$4\cdot 2=8\equiv 1$ なので $x\equiv 6(\mathrm{mod}7)$ である。したがって $x=6,13,20,27,34,41$ が候補で、$x=48$ では $11x>500$ となり不適。

それぞれの $y$ と $|x-y|$ は次のとおり。
- $(6,62)$: $56$
- $(13,51)$: $38$
- $(20,40)$: $20$
- $(27,29)$: $2$
- $(34,18)$: $16$
- $(41,7)$: $34$

最小は $(27,29)$ で、検算すると $11\cdot 27+7\cdot 29=297+203=500$ となり条件を満たす。