整数の性質の問題

解の並び方を調べる

$7x+10y=n$ が正の整数解をもつとき、そのうち $x$ が最小のものを $(x_1,y_1)$ とする。

$(x,y)$ を任意の整数解とすると、$7x+10y=7x_1+10y_1$ より
$$7(x-x_1)=10(y_1-y)$$
となる。$7$ と $10$ は互いに素なので、$x-x_1$ は $10$ の倍数である。$x-x_1=10k$（$k$ は整数）とおくと $y_1-y=7k$ となる。よって、整数解はすべて
$$x=x_1+10k,y=y_1-7k(k\text{ は整数})$$
の形に表される。逆に、この形の組はすべて解である。

この形の組で $x\geqq 1$ かつ $y\geqq 1$ となる $k$ は、連続した整数の範囲をなす。$x_1$ は正の整数解の中で $x$ が最小のものなので、正の整数解は $k=0,1,2,\dots$ の順に並ぶ。

ちょうど 5 個となる条件

正の整数解がちょうど $5$ 個であることは、次の $(1)$, $(2)$, $(3)$ がすべて成り立つことと同値である。

$(1)$ $k=0,1,2,3,4$ のとき解が正である。$x$ は増加し $y$ は減少するので、これは $x_1\geqq 1$ かつ $y_1-28\geqq 1$ と同値である。

$(2)$ $k=5$ の解は正でない。$x_1+50>0$ なので、これは $y_1-35\leqq 0$、すなわち $y_1\leqq 35$ と同値である。

$(3)$ $k=-1$ の解は正でない。$y_1+7>0$ なので、これは $x_1-10\leqq 0$、すなわち $x_1\leqq 10$ と同値である。

以上より $1\leqq x_1\leqq 10$、$29\leqq y_1\leqq 35$ である。したがって
$$n=7x_1+10y_1\leqq 7\cdot 10+10\cdot 35=420$$
が成り立つ。

等号が成り立つことの確認

$x_1=10$、$y_1=35$ のとき $n=70+350=420$ である。このとき正の整数解は
$$(10,35),(20,28),(30,21),(40,14),(50,7)$$
の $5$ 個である。$k=-1$ の組は $(0,42)$、$k=5$ の組は $(60,0)$ で、どちらも正でない。よって正の整数解はちょうど $5$ 個である。

したがって、求める最大の $n$ は $420$ である。

$x=a+1,y=b+1$ とおくと、$a,b$ は 0 以上の整数で $7a+10b=n-17=m$ となる。したがって、この式を満たす 0 以上の整数解 $(a,b)$ がちょうど 5 個となる最大の $m$ を求めればよい。

$10b\equiv m(\mathrm{mod}7)$ を満たす $b$ の最小の非負の値を $b_0$ ($0\le b_0\le 6$) とする。解の $b$ は $b_0,b_0+7,b_0+14,\dots$ と並び、$b\le m/10$ を満たすものだけが解になる。

$b_0$ に対応する $a$ を $a_0$ とおくと $m=10b_0+7a_0$ で、$a_0\ge 0$ である。解がちょうど 5 個になる条件は
$$b_0+28\le \frac{m}{10}<b_0+35$$
である。$m=10b_0+7a_0$ を代入すると $280\le 7a_0<350$、すなわち $40\le a_0\le 49$ となる。

この範囲で $m$ が最大になるのは $a_0=49,b_0=6$ のときで、$m=7\cdot 49+10\cdot 6=403$ である。$b_0=6$ に対して $a_0=49$ が実際に整合することは、次の検算で確かめられる。

$m=403$ の解は $(a,b)=(49,6),(39,16),(29,26),(19,36),(9,46)$ の 5 個である。次の解は $a=-1$ となるので不適である。

よって $n=403+17=420$。

検算：$7x+10y=420$ より $x$ は 10 の倍数で、$x=10k$ とおくと $y=42-7k>0$ より $k=1,\dots ,5$。解は $(10,35),(20,28),(30,21),(40,14),(50,7)$ のちょうど 5 個になる。