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不定方程式の正の整数解の個数と選び出し

一般解に $x>0,y>0$ などの条件を課して $k$ の範囲を求め、正の整数解の個数を数えたり、条件（$|x-y|$ 最小など）を満たす解を選び出したりできる

前提

• 1 次不定方程式の整数解 （数学A 整数の性質）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 一般解を求める：特殊解 $(x_0,y_0)$ を見つけ、$x=x_0+bk,y=y_0-ak$（$k$ は整数）と表す。

2. 条件を $k$ の不等式にする：たとえば $x>0,y>0$ なら $x_0+bk>0$ かつ $y_0-ak>0$ と書く。

3. 不等式を解き、整数 $k$ の範囲を $m\le k\le M$ の形に直す。等号のない不等式は、端の値が整数かどうかに注意して整数の範囲に直す。

4. 個数を数えるときは $M-m+1$ を計算する。解を選ぶときは、範囲内の各 $k$ を代入するか、$x-y$ などを $k$ の式にして比べ、条件に合う $k$ を決める。

例題

よくある誤り

• $y_0-ak>0$ を解くとき、不等号の向きを変えずに $k>\frac{y_0}{a}$ としてしまう誤り。正しくは、両辺を負の数 $-a$ で割るので向きが変わります。例えば $19-7k>0$ は $-7k>-19$ より $k<\frac{19}{7}$ です。

• $k>-\frac{1}{5}$ を整数の範囲に直すとき、$k\ge -1$ としてしまう誤り。正しくは、$-\frac{1}{5}$ より大きい最小の整数は $0$ なので $k\ge 0$ です。端が整数のときも、$k<3$ なら $k\le 2$ のように、等号のない不等式はその整数自身を含めません。

• 「正の整数」と「0 以上の整数」を取り違え、$x>0$ を $x\ge 0$ として解いてしまう誤り。正しくは、問題文に合わせて使い分けます。$7x+5y=102$ では、$x\ge 0,y\ge 0$ でも $0\le k\le 2$ で個数は同じですが、端の値がちょうど整数になる問題では 1 個ずれることがあります。

• $m\le k\le M$ の整数の個数を $M-m$ としてしまう誤り。正しくは、両端を含むので $M-m+1$ です。例えば $0\le k\le 2$ なら $k=0,1,2$ の $3$ 個です。また、$|x-y|$ 最小のような問題で $x-y=12k-18$ のように $k$ の式にした後、範囲外の $k$ を選んでしまう誤りにも注意します。この例では範囲 $0\le k\le 2$ 内の $k=1$ と $k=2$ がどちらも $|x-y|=6$ で最小になり、解は 2 組あります。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  方程式 $$9x+4y=200$$ を満たす正の整数の組 $(x,y)$ をすべて考える。それらのうち、$x+y$ の値が最小となるものについて、$x+y$ の値を求めよ。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  1 個 $70$ 円の品物 A と 1 個 $110$ 円の品物 B を、どちらも少なくとも 1 個ずつ買い、代金の合計をちょうど $2000$ 円にしたい。A を $x$ 個、B を $y$ 個買うとすると $$70x+110y=2000$$ が成り立つ。このような買い方（正の整数の組 $(x,y)$）は何通りあるか。ただし、消費税は考えないものとする。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  方程式 $$7x+4y=150$$ を満たす正の整数の組 $(x,y)$ のうち、$x$ が最大となるものを求めよ。答えは組 $(x,y)$ の形で答えよ。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  方程式 $13x+8y=1001$ を満たす正の整数の組 $(x,y)$ は何組あるか。

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  $n$ は $1\leqq n\leqq 100$ を満たす整数とする。$3n+4$ と $5n+1$ の最大公約数が $1$ より大きくなるような $n$ の個数を求めよ。

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  方程式 $13x+8y=300$ を満たす正の整数の組 $(x,y)$ をすべて考える。それらのうち積 $xy$ が最大となるものについて、$xy$ の値を求めよ。

• 難易度 3（共通テストレベル）

  正の整数 $x,y$ が
  $$11x+7y=500$$
  を満たすとする。このような組 $(x,y)$ のうち、$|x-y|$ が最小となるものを求めよ。答えは組 $(x,y)$ の形で答えよ。

• 難易度 3（共通テストレベル）

  方程式 $$6x+10y+15z=1000$$ を満たす正の整数の組 $(x,y,z)$ の個数を求めよ。

• 難易度 4（国公立二次の標準レベル）

  正の整数 $n$ に対して、方程式
  $$7x+10y=n$$
  を満たす正の整数の組 $(x,y)$ がちょうど $5$ 個存在するとする。このような $n$ のうち最大のものを求めよ。

• 難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）

  $0$ 以上の整数 $n$ に対して、方程式 $$7x+11y=n$$ を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x,y)$ の個数を $f(n)$ とする。$f(n)=3$ となる $0$ 以上の整数 $n$ は有限個である。それらすべての和を求めよ。

• 難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）

  $0$ 以上の整数 $x,y$ を用いて $7x+11y$ の形に表すことができない正の整数をすべて考える。それらすべての和を求めよ。