整数の性質の問題

標準形を作る.
$y=0,1,2,\dots ,6$ に対して $11y$ を $7$ で割った余りは、$11\equiv 4(\mathrm{mod}7)$ より $4y$ の余りに等しく、順に
$$0,4,1,5,2,6,3$$
となります。これは $0$ から $6$ までがちょうど $1$ 回ずつ現れます。

したがって、任意の整数 $n$ に対して $n-11y$ が $7$ の倍数になる $y$ $(0\leqq y\leqq 6)$ がただ 1 つ存在します。つまり $n$ は
$$n=7x+11y(x\text{ は整数},0\leqq y\leqq 6)$$
の形にただ 1 通りに表せます。これを $n$ の標準形とよびます。

表せるための条件.
$n$ が $0$ 以上の整数 $x,y$ で $7x+11y$ と表せるのは、標準形で $x\geqq 0$ のとき、かつそのときに限ります。

• $x\geqq 0$ ならば、標準形そのものが求める表し方です。
• 逆に $n=7x^{\prime }+11y^{\prime }$ $(x^{\prime }\geqq 0,y^{\prime }\geqq 0)$ と表せたとします。標準形 $n=7x+11y$ と比べると $7(x^{\prime }-x)=11(y-y^{\prime })$ です。$7$ と $11$ は互いに素なので $y^{\prime }-y$ は $7$ の倍数となり、$y^{\prime }=y+7t$（$t$ は整数）と書けます。このとき $x=x^{\prime }+11t$ です。
• ここで $y^{\prime }\geqq 0$ かつ $0\leqq y\leqq 6$ なので、$t<0$ とすると $y^{\prime }\leqq 6-7<0$ となって矛盾します。よって $t\geqq 0$ であり、$x=x^{\prime }+11t\geqq 0$ です。

表せない正の整数の列挙.
以上より、表せない正の整数は、$y=0,1,\dots ,6$、$k$ を正の整数として
$$n=11y-7k>0$$
と表せる数全体です。しかも標準形は一意なので、異なる $(y,k)$ から同じ $n$ が重複して現れることはありません。

$11y-7k>0$ は $k\leqq \frac{11y-1}{7}$ と同値です。各 $y$ ごとに数え上げます。

• $y=0$：該当なし。
• $y=1$：$k\leqq 1$。現れる数は $4$。和は $4$。
• $y=2$：$k\leqq 3$。現れる数は $15,8,1$。和は $24$。
• $y=3$：$k\leqq 4$。現れる数は $26,19,12,5$。和は $62$。
• $y=4$：$k\leqq 6$。現れる数は $37,30,23,16,9,2$。和は $117$。
• $y=5$：$k\leqq 7$。現れる数は $48,41,34,27,20,13,6$。和は $189$。
• $y=6$：$k\leqq 9$。現れる数は $59,52,\dots ,3$ の $9$ 項。和は $\frac{(59+3)\cdot 9}{2}=279$。

（表せない数の個数は $1+3+4+6+7+9=30$ 個です。）

合計.
$$4+24+62+117+189+279=675$$

よって求める和は $675$ です。

7 と 11 は互いに素なので、$7x+11y$（$x,y\ge 0$ の整数）の形に表せない正の整数は有限個である。互いに素な正の整数 $a,b$ に対して、表せない正の整数の個数は $\frac{(a-1)(b-1)}{2}$、その総和は $\frac{(a-1)(b-1)(2ab-a-b-1)}{12}$ である。

この公式は次のように確かめられる。$a=2,b=3$ のとき、表せない正の整数は $1$ だけで、公式は $\frac{1\cdot 2\cdot (12-2-3-1)}{12}=1$ となり一致する。

$a=7,b=11$ を代入する。
$\frac{6\cdot 10\cdot (154-7-11-1)}{12}=\frac{60\cdot 135}{12}=5\cdot 135=675$

検算として個数を調べると $\frac{6\cdot 10}{2}=30$ 個である。最大の表せない数は $77-7-11=59$ で、全体の個数とも整合する。

よって和は $675$ である。