整数の性質の問題

1. 整数解をすべて表す

$9\cdot 0+4\cdot 50=200$ なので、$(x,y)=(0,50)$ は整数解の1つです。

$$9x+4y=200,9\cdot 0+4\cdot 50=200$$

の辺々を引くと、

$$9x=4(50-y)$$

となります。$9$ と $4$ は互いに素なので、$x$ は $4$ の倍数です。$k$ を整数として $x=4k$ とおくと、$9\cdot 4k=4(50-y)$ より $y=50-9k$ です。

よって、整数解は $k$ を整数として

$$x=4k,y=50-9k$$

と表されます。

2. 正の整数という条件から $k$ の範囲を求める

• $x>0$ より $4k>0$ なので $k>0$、すなわち $k\geqq 1$
• $y>0$ より $50-9k>0$ なので $k<\frac{50}{9}=5.55\cdots$、すなわち $k\leqq 5$

したがって $k=1,2,3,4,5$ です。

3. 条件を満たす解を選び出す

$k=1,2,3,4,5$ に対応する解は

$$(x,y)=(4,41),(8,32),(12,23),(16,14),(20,5)$$

です。また、

$$x+y=4k+(50-9k)=50-5k$$

なので、$x+y$ は $k$ が大きいほど小さくなります。よって $k=5$、すなわち $(x,y)=(20,5)$ のとき最小で、その値は

$$x+y=50-5\cdot 5=25$$

です。

(確認：$9\cdot 20+4\cdot 5=180+20=200$)

答えは $25$ です。

$9x+4y=200$ より $9x=200-4y=4(50-y)$ となる。$9$ と $4$ は互いに素なので、$x$ は $4$ の倍数である。そこで $x=4k$（$k$ は正の整数）とおくと、$36k+4y=200$ より $y=50-9k$ となる。
$y>0$ から $k\le 5$ なので、$k=1,2,3,4,5$ であり、組は $(4,41),(8,32),(12,23),(16,14),(20,5)$ の5つである。
このとき $x+y=4k+50-9k=50-5k$ で、$k$ が大きいほど小さくなる。したがって最小になるのは $k=5$、すなわち $(x,y)=(20,5)$ のときである。
検算：$9\cdot 20+4\cdot 5=180+20=200$ で条件を満たす。このとき $x+y=25$。