整数の性質の問題

手順1：特殊解を 1 つ見つける

ユークリッドの互除法を使います。
$$11=4\cdot 2+3,4=3\cdot 1+1$$
余りの式に直すと
$$3=11-4\cdot 2,1=4-3$$
となります。下の式の $3$ に上の式を代入すると
$$1=4-(11-4\cdot 2)=11\cdot (-1)+4\cdot 3$$
よって $11\cdot (-1)+4\cdot 3=1$ が成り立ち、$(x,y)=(-1,3)$ は特殊解の 1 つです。

手順2：一般解を求める

$$11x+4y=1(1)$$
$$11\cdot (-1)+4\cdot 3=1(2)$$
$(1)-(2)$ より
$$11(x+1)+4(y-3)=0$$
すなわち
$$11(x+1)=-4(y-3)$$
$11$ と $4$ は互いに素なので、$x+1$ は $4$ の倍数です。$k$ を整数として $x+1=4k$ とおくと、$11\cdot 4k=-4(y-3)$ より $y-3=-11k$ となります。したがって、すべての整数解は
$$x=4k-1,y=-11k+3(k\text{ は整数})$$
と表されます。

手順3：条件に合う組を選ぶ

$x\geqq 10$ より $4k-1\geqq 10$、すなわち $k\geqq \frac{11}{4}$ です。これを満たす最小の整数は $k=3$ です。$x=4k-1$ は $k$ が大きいほど大きくなるので、$x$ が最小になるのは $k=3$ のときです。
$$x=4\cdot 3-1=11,y=-11\cdot 3+3=-30$$
確認：$11\cdot 11+4\cdot (-30)=121-120=1$ です。

よって、求める組は $(x,y)=(11,-30)$ です。

$11x+4y=1$ の整数解の一つは $(x,y)=(-1,3)$ である（$-11+12=1$）。一般解は $x=-1+4k,y=3-11k$（$k$ は整数）。
$x\ge 10$ とすると $-1+4k\ge 10$ より $k\ge 11/4=2.75$ なので、最小の整数は $k=3$。
このとき $x=11,y=3-33=-30$。
検算: $11\cdot 11+4\cdot (-30)=121-120=1$ で成り立つ。$k=2$ なら $x=7<10$ なので不適。よって $(11,-30)$。