整数の性質の問題

手順 1：互除法で特殊解を 1 つ見つける。

$9$ と $7$ に互除法を用いると
$$9=7\cdot 1+2,7=2\cdot 3+1$$
となり、$9$ と $7$ は互いに素である。余りを逆にたどると
$$1=7-2\cdot 3$$
である。ここに $2=9-7\cdot 1$ を代入すると
$$1=7-(9-7)\cdot 3=7\cdot 4-9\cdot 3=9\cdot (-3)+7\cdot 4$$
となる。よって $(x,y)=(-3,4)$ は方程式 $9x+7y=1$ の解の 1 つである。

手順 2：すべての整数解を表す。

$$9x+7y=1(1)$$
$$9\cdot (-3)+7\cdot 4=1(2)$$
$(1)-(2)$ より
$$9(x+3)+7(y-4)=0,\text{すなわち}9(x+3)=-7(y-4)$$
となる。$9$ と $7$ は互いに素であるから、$x+3$ は $7$ の倍数である。$k$ を整数として $x+3=7k$ とおくと、$9\cdot 7k=-7(y-4)$ より $y-4=-9k$ となる。したがって、すべての整数解は
$$x=7k-3,y=-9k+4(k\text{ は整数})$$
と表される。

手順 3：$x$ が最小の正の整数となる解を選ぶ。

$x=7k-3>0$ より $k>\frac{3}{7}$ である。これを満たす最小の整数は $k=1$ である。$x$ は $k$ が大きいほど大きくなるので、$k=1$ のとき $x$ は最小の正の整数となる。このとき
$$x=7\cdot 1-3=4,y=-9\cdot 1+4=-5$$
である。

確認： $9\cdot 4+7\cdot (-5)=36-35=1$ となり、確かに方程式を満たす。

よって、求める組は $(x,y)=(4,-5)$ である。

$9x+7y=1$ を満たす整数解を求める。$x=4,y=-5$ のとき $36-35=1$ となるので特殊解である。一般解は $x=4+7k,y=-5-9k$ ($k$ は整数)。$x$ が正の整数となる最小のものは、$x=4+7k>0$ より $k\ge 0$ なので $k=0$ のとき $x=4$。このとき $y=-5$。確かめ：$9\cdot 4+7\cdot (-5)=36-35=1$。また $x=1,2,3$ では $7y=1-9x=-8,-17,-26$ で、いずれも 7 の倍数でないので不適。よって $(x,y)=(4,-5)$。