整数の性質の問題

両辺を $10$ で割ると
$$7x+11y=200(1)$$
となる。

特殊解を見つける。 $y$ に小さい値を入れて $200-11y$ が $7$ の倍数になるものを探すと、$y=15$ のとき $200-165=35=7\times 5$ なので、$x=5,y=15$ は $(1)$ の解である。すなわち
$$7\cdot 5+11\cdot 15=200(2)$$

一般解を求める。 $(1)-(2)$ より
$$7(x-5)=-11(y-15)$$
$7$ と $11$ は互いに素なので、$x-5$ は $11$ の倍数である。$x-5=11k$（$k$ は整数）とおくと $y-15=-7k$ となり、
$$x=11k+5,y=-7k+15(k\text{ は整数})$$

正の整数となる条件から $k$ の範囲を求める。
- $x>0$ より $11k+5>0$、すなわち $k>-\frac{5}{11}$。$k$ は整数なので $k\geqq 0$。
- $y>0$ より $-7k+15>0$、すなわち $k<\frac{15}{7}=2.14\cdots$。$k$ は整数なので $k\leqq 2$。

よって $k=0,1,2$ であり、対応する解は
$$(x,y)=(5,15),(16,8),(27,1)$$
（確認: $70\cdot 16+110\cdot 8=1120+880=2000$、$70\cdot 27+110\cdot 1=1890+110=2000$）。

したがって、買い方は $3$ 通りである。

$70x+110y=2000$ の両辺を $10$ で割ると $7x+11y=200$。

$7x=200-11y$ より、$200-11y$ が $7$ の倍数になる $y$ を求める。mod 7 で考えると、$200=7\cdot 28+4$ より $200\equiv 4$、$11\equiv 4$。よって $4-4y\equiv 0$、つまり $y\equiv 1(\mathrm{mod}7)$。

$y=1+7k$ とおくと $x=(200-11-77k)/7=27-11k$。

$x\ge 1,y\ge 1$ より $27-11k\ge 1$ から $k\le 2$（$26/11\approx 2.36$）、$y\ge 1$ から $k\ge 0$。よって $k=0,1,2$。

• $k=0$: $(x,y)=(27,1)$。検算: $70\cdot 27+110=1890+110=2000$
• $k=1$: $(x,y)=(16,8)$。検算: $1120+880=2000$
• $k=2$: $(x,y)=(5,15)$。検算: $350+1650=2000$

よって $3$ 通り。