整数の性質の問題

合同式の法は $5$ とします。

手順 1：$x$ を $5$ で割った余りごとに $x^2$ の余りを求める

$a\equiv b(\mathrm{mod}5)$ ならば $a^2\equiv b^2(\mathrm{mod}5)$ です（積の性質）。これを使います。

• $x\equiv 0$ のとき $x^2\equiv 0^2=0$
• $x\equiv 1$ のとき $x^2\equiv 1^2=1$
• $x\equiv 2$ のとき $x^2\equiv 2^2=4$
• $x\equiv 3$ のとき $x^2\equiv 3^2=9\equiv 4$
• $x\equiv 4$ のとき $x^2\equiv 4^2=16\equiv 1$

よって $x^2$ を $5$ で割った余りは $0,1,4$ のいずれかです。

手順 2：$1$ から $10$ までの整数を $x^2$ の余りで分ける

$1$ から $10$ までには、$5$ で割った余りが $0,1,2,3,4$ の整数がそれぞれ $2$ 個ずつあります。

• $x^2\equiv 0$：余り $0$ の $5,10$ の $2$ 個
• $x^2\equiv 1$：余り $1,4$ の $1,4,6,9$ の $4$ 個
• $x^2\equiv 4$：余り $2,3$ の $2,3,7,8$ の $4$ 個

$y$ についても同じです。

手順 3：$x^2+y^2\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ となる組み合わせを調べる

和の性質より、$x^2+y^2$ の余りは $x^2$ と $y^2$ の余りの和で決まります。$x^2,y^2$ の余りの組で和が $5$ の倍数になるのは
$$0+0=0,1+4=5\equiv 0,4+1=5\equiv 0$$
の $3$ 通りです（$0+1,0+4,1+1=2,4+4=8\equiv 3$ などは $0$ になりません）。

手順 4：積の法則と和の法則で数える

• $(x^2,y^2)\equiv (0,0)$：$2\times 2=4$ 組
• $(x^2,y^2)\equiv (1,4)$：$4\times 4=16$ 組
• $(x^2,y^2)\equiv (4,1)$：$4\times 4=16$ 組

よって求める個数は
$$4+16+16=36$$
です。

$x,y\in \{1,\dots ,10\}$ について、$x^2+y^2$ が 5 で割り切れる条件を $x,y$ を 5 で割った余りで調べる。

平方を 5 で割った余りは、$x\equiv 0$ のとき 0、$x\equiv \pm 1$ のとき 1、$x\equiv \pm 2$ のとき 4 である。

余りの和が 5 の倍数になる組合せは次のとおり。
- 0+0=0 → 和は 5 の倍数
- 1+4=5 → 和は 5 の倍数
- 4+1=5 → 和は 5 の倍数
- 1+1=2、4+4=8、0+1=1、0+4=4 は 5 の倍数にならない

したがって、条件は次の 2 つのどちらかである。
(i) $x,y$ がともに 5 の倍数
(ii) 一方が $\pm 1$、他方が $\pm 2$ (mod 5)

1〜10 のうち、余りが 0 の数は $5,10$ の 2 個。余りが 1 または 4 の数は $1,4,6,9$ の 4 個。余りが 2 または 3 の数は $2,3,7,8$ の 4 個。

(i) $2\times 2=4$ 通り
(ii) $x^2\equiv 1,y^2\equiv 4$ となるのは $4\times 4=16$ 通り。逆の場合も 16 通り。合計 32 通り。

合計は $4+32=36$ 個。

検算: $x=1$ のとき、$y^2\equiv 4$ すなわち $y=2,3,7,8$ の 4 個。同様に $x$ が 5 の倍数以外のとき各 $x$ について 4 個ずつあり、$x$ は 8 個なので 32 個。$x=5,10$ のとき $y=5,10$ で各 2 個、合計 4 個。よって 36 個で一致する。