整数の性質の問題

方針 合同式の性質「$a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ ならば $a^2\equiv b^2(\mathrm{mod}m)$」を使い、$x^2$ を $5$ で割った余りを $x$ を $5$ で割った余りだけから求める。

手順1：$x^2$ を $5$ で割った余りを調べる

$x\equiv r(\mathrm{mod}5)$ ならば $x^2\equiv r^2(\mathrm{mod}5)$ である。$r=0,1,2,3,4$ について計算すると
$$0^2=0,1^2=1,2^2=4,3^2=9\equiv 4,4^2=16\equiv 1(\mathrm{mod}5)$$
となる。よって
- $x\equiv 0$ のとき $x^2\equiv 0$
- $x\equiv 1,4$ のとき $x^2\equiv 1$
- $x\equiv 2,3$ のとき $x^2\equiv 4$

$1$ 以上 $10$ 以下の整数を余りで分けると次のようになる。
- $x^2\equiv 0$ となる $x$：$5,10$ の $2$ 個
- $x^2\equiv 1$ となる $x$：$1,4,6,9$ の $4$ 個
- $x^2\equiv 4$ となる $x$：$2,3,7,8$ の $4$ 個

$y$ についても同じである。

手順2：和が $5$ で割り切れる余りの組を探す

合同式の和の性質から、$x^2\equiv a,y^2\equiv b$ ならば $x^2+y^2\equiv a+b(\mathrm{mod}5)$ である。$a,b$ はそれぞれ $0,1,4$ のどれかなので、$a+b\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ となるのは
$$(a,b)=(0,0),(1,4),(4,1)$$
の $3$ 通りである（$0+1,0+4,1+1=2,4+4=8\equiv 3$ はどれも $0$ にならない）。

手順3：積の法則で数える
- $(0,0)$：$2\times 2=4$ 組
- $(1,4)$：$4\times 4=16$ 組
- $(4,1)$：$4\times 4=16$ 組

和の法則より、求める個数は
$$4+16+16=36$$
である。

$x,y\in \{1,\dots ,10\}$ について、$x^2+y^2$ が 5 の倍数になる組 $(x,y)$ を、5 で割った余りで分類して数える。

平方数を 5 で割った余りは、$x\equiv 0$ のとき 0、$x\equiv \pm 1$ のとき 1、$x\equiv \pm 2$ のとき 4 である。

$x^2+y^2\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ となるのは次のいずれかの場合である。
- 両方が $0$ の場合: $(0,0)$
- $1+4=5\equiv 0$ の場合: $(1,4)$ または $(4,1)$
- $1+1=2$、$4+4=8\equiv 3$、$0+1$、$0+4$ はいずれも不適

1 から 10 までの整数の余りごとの個数は次のとおり。
- 余り 0: 5, 10 の 2 個
- 余り $\pm 1$（1, 4, 6, 9）: 4 個、平方の余り 1
- 余り $\pm 2$（2, 3, 7, 8）: 4 個、平方の余り 4

個数は次のようになる。
- $x,y$ がともに 5 の倍数: $2\times 2=4$
- $x^2\equiv 1$ かつ $y^2\equiv 4$: $4\times 4=16$
- $x^2\equiv 4$ かつ $y^2\equiv 1$: $4\times 4=16$

合計は $4+16+16=36$ である。

検算: 1〜10 の平方は 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100。5 で割った余りは 1,4,4,1,0,1,4,4,1,0。余り 1 が 4 個、余り 4 が 4 個、余り 0 が 2 個で、上の分類と一致する。

答え: 36