整数の性質の問題

係数 $6=2\cdot 3,10=2\cdot 5,15=3\cdot 5$ に注目し、$2,3,5$ で割った余りを考える。

$2$ で割った余り: $6x+10y$ と $1000$ は偶数なので、$15z=1000-6x-10y$ は偶数。$15$ は奇数なので $z$ は偶数である。

$3$ で割った余り: $6x+15z$ は $3$ の倍数なので、$10y=1000-6x-15z$ を $3$ で割った余りは $1000$ を $3$ で割った余り $1$ に等しい。$10y=9y+y$ より $y$ を $3$ で割った余りが $1$ である。

$5$ で割った余り: $10y+15z$ と $1000$ は $5$ の倍数なので、$6x$ は $5$ の倍数。$6$ と $5$ は互いに素だから $x$ は $5$ の倍数である。

よって、整数 $a,b,c$ を用いて
$$x=5a,y=3b+1,z=2c$$
と表せる。$x,y,z$ が正の整数であることから $a\geqq 1,b\geqq 0,c\geqq 1$ である。方程式に代入すると
$$30a+30b+10+30c=1000$$
$$30(a+b+c)=990$$
$$a+b+c=33$$
となる。逆に、$a\geqq 1,b\geqq 0,c\geqq 1$ でこれを満たす整数 $a,b,c$ から作った $(x,y,z)$ は、正の整数で元の方程式を満たす。また、異なる $(a,b,c)$ からは異なる $(x,y,z)$ ができる。

したがって、求める個数は $a+b+c=33$（$a\geqq 1,b\geqq 0,c\geqq 1$）を満たす整数の組 $(a,b,c)$ の個数に等しい。$a^{\prime }=a-1,c^{\prime }=c-1$ とおくと
$$a^{\prime }+b+c^{\prime }=31(a^{\prime },b,c^{\prime }\text{は}0\text{以上の整数})$$
となる。これは $31$ 個の $◯$ と $2$ 本の仕切り $|$ の並べ方の数に等しいので
$${}_{33}{\mathrm{C}}_2=\frac{33\cdot 32}{2}=528$$
である。

（確認: $a=1,b=0,c=32$ のとき $(x,y,z)=(5,1,64)$ で、$30+10+960=1000$。）

答えは $528$ 個である。

$6x+10y+15z=1000$ を法 $2,3,5$ で調べる。

• 法 $2$: $15z$ が偶数でなければならないので $z$ は偶数。$z=2c$ とおく。
• 法 $3$: $10y\equiv y$、$1000\equiv 1$ なので $y\equiv 1(\mathrm{mod}3)$。$y=3b+1$ とおく。
• 法 $5$: $6x\equiv x\equiv 1000\equiv 0$ なので $x$ は $5$ の倍数。$x=5a$ とおく。

代入すると $30a+10(3b+1)+30c=1000$ より $30(a+b+c)=990$、すなわち $a+b+c=33$。

正の整数の条件: $x=5a\geqq 1$ より $a\geqq 1$、$y=3b+1\geqq 1$ より $b\geqq 0$、$z=2c\geqq 1$ より $c\geqq 1$。

$a^{\prime }=a-1\geqq 0,c^{\prime }=c-1\geqq 0$ とおくと $a^{\prime }+b+c^{\prime }=31$（非負整数解）。その個数は重複組合せで ${}_{33}{\mathrm{C}}_2=\frac{33\cdot 32}{2}=528$。

検算: $(a,b,c)=(1,0,32)$ のとき $(x,y,z)=(5,1,64)$ で $30+10+960=1000$ ✓。$(a,b,c)=(1,31,1)$ のとき $(5,94,2)$ で $30+940+30=1000$ ✓。また $z$ を固定して数える別法: $z=2c$ のとき $6x+10y=1000-30c$、すなわち $3x+5y=500-15c$ で、$x=5a$、$y=3b+1$ から $a+b=33-c$、$a\geqq 1,b\geqq 0$ の解は $33-c$ 個。$c=1,\dots ,32$ で ${\sum }_{c=1}^{32}(33-c)=32+31+\cdots +1=528$ ✓。