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整数の性質の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 整数の性質

$200$ の正の約数の個数と、正の約数の総和を、この順に求めよ。

この問題で使うもの

約数の個数と総和（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「約数の個数と総和」を使います。まず $200$ を素因数分解しましょう。

ヒント 2

$n = p^{a} q^{b}$ のとき、正の約数の個数は $(a + 1) (b + 1)$ 、総和は $(1 + p + \dots + p^{a}) (1 + q + \dots + q^{b})$ です。

ヒント 3

$200 = 2^{3} \times 5^{2}$ なので、個数は $(3 + 1) (2 + 1)$ 、総和は $(1 + 2 + 4 + 8) (1 + 5 + 25)$ を計算します。

答えと解説

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(12, 465)

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解説を読む

手順1：素因数分解する

$200$ を素数で割っていくと
$200 = 2 \times 100 = 2 \times 2 \times 50 = 2 \times 2 \times 2 \times 25 = 2^{3} \times 5^{2}$
となる。

手順2：約数の形を考える

$200$ の正の約数は、 $2^{3}$ の約数 $1, 2, 2^{2}, 2^{3}$ から1つ、 $5^{2}$ の約数 $1, 5, 5^{2}$ から1つ選んで掛け合わせた数で、もれなく重複なく表される。

手順3：約数の個数を求める

$2$ の指数の選び方は $0, 1, 2, 3$ の $3 + 1 = 4$ 通り、 $5$ の指数の選び方は $0, 1, 2$ の $2 + 1 = 3$ 通りである。積の法則より、約数の個数は
$(3 + 1) (2 + 1) = 4 \times 3 = 12 (個)$

手順4：約数の総和を求める

式 $(1 + 2 + 2^{2} + 2^{3}) (1 + 5 + 5^{2})$ を展開すると、手順2の約数がちょうど1回ずつ項として現れる。よって総和は
$(1 + 2 + 4 + 8) (1 + 5 + 25) = 15 \times 31 = 465$

(確認) 約数を書き出すと $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200$ の $12$ 個で、その和は $465$ となり一致する。

よって、答えは $(12, 465)$ である。

別解

$200 = 2^{3} \times 5^{2}$ と素因数分解できる。
正の約数の個数は $(3 + 1) (2 + 1) = 12$ 。
正の約数の総和は $(1 + 2 + 4 + 8) (1 + 5 + 25) = 15 \times 31 = 465$ 。
検算：約数は 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200。個数は 12。和は 1+2+4+5+8=20、10+20+25=55 で計 75、40+50+100+200=390 で、75+390=465 となり一致する。

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