整数の性質の問題

手順 1：最大公約数を使って $a,b$ を表す

$a$ と $b$ の最大公約数が $8$ なので、
$$a=8a^{\prime },b=8b^{\prime }(a^{\prime },b^{\prime }\text{ は互いに素な正の整数},a^{\prime }<b^{\prime })$$
と表せます。

手順 2：最小公倍数の条件を $a^{\prime },b^{\prime }$ の式にする

$a^{\prime },b^{\prime }$ が互いに素なので、最小公倍数は $L=8a^{\prime }{b}^{\prime }$ です。$L=240$ より
$$8a^{\prime }{b}^{\prime }=240\text{すなわち}{a}^{\prime }{b}^{\prime }=30$$
（$ab=GL$ を使っても、$8a^{\prime }\cdot 8b^{\prime }=8\cdot 240$ から同じ式 $a^{\prime }{b}^{\prime }=30$ が得られます。）

手順 3：和の条件を $a^{\prime },b^{\prime }$ の式にする

$a+b=88$ より $8a^{\prime }+8b^{\prime }=88$ なので
$$a^{\prime }+b^{\prime }=11$$

手順 4：$a^{\prime },b^{\prime }$ を決める

$a^{\prime }{b}^{\prime }=30$、$a^{\prime }<b^{\prime }$、$a^{\prime }$ と $b^{\prime }$ が互いに素である組は
$$(a^{\prime },b^{\prime })=(1,30),(2,15),(3,10),(5,6)$$
です。それぞれの和は $31,17,13,11$ なので、$a^{\prime }+b^{\prime }=11$ を満たすのは $(a^{\prime },b^{\prime })=(5,6)$ だけです。

手順 5：$a,b$ を求めて確かめる

$a=8\times 5=40$、$b=8\times 6=48$ です。

確かめとして、$40=2^3\cdot 5$、$48=2^4\cdot 3$ と素因数分解すると、
- 最大公約数は $2^3=8$
- 最小公倍数は $2^4\cdot 3\cdot 5=240$
- 和は $40+48=88$

となり、すべての条件を満たします。

よって $(a,b)=(40,48)$ です。

最大公約数が $8$ なので、$a=8m,b=8n$（$m,n$ は互いに素な正の整数、$m<n$）とおく。最小公倍数は $8mn=240$ より $mn=30$。$a+b=88$ より $8(m+n)=88$ なので $m+n=11$。$m,n$ は $t^2-11t+30=0$ の解で、$(t-5)(t-6)=0$ より $t=5,6$。$m<n$ より $m=5,n=6$ で、これらは互いに素なので条件を満たす。したがって $a=40,b=48$。検算：$\gcd (40,48)=8$、$\mathrm{lcm}(40,48)=240$、$40+48=88$ で、すべて条件に合う。