整数の性質の問題

$N<2^{12}$ なので、$N$ は $2^0,2^1,\dots ,2^{11}$ のうち相異なる $4$ つの和として、ただ 1 通りに表せる。

$2^k$ を $7$ で割った余り

$2^3=8\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ であるから、
$$2^k\equiv \{\begin{array}{ll}1& (k\equiv 0(\mathrm{mod}3))\\ 2& (k\equiv 1(\mathrm{mod}3))\\ 4& (k\equiv 2(\mathrm{mod}3))\end{array}(\mathrm{mod}7)$$
となる。そこで位 $k=0,1,\dots ,11$ を次の 3 組に分ける。
- $A$: $k=0,3,6,9$（値 $1,8,64,512$、$7$ で割った余りは $1$）
- $B$: $k=1,4,7,10$（値 $2,16,128,1024$、余りは $2$）
- $C$: $k=2,5,8,11$（値 $4,32,256,2048$、余りは $4$）

各組の値の和は
$$S_A=585,S_B=1170,S_C=2340$$
である。

$7$ で割り切れる条件

$A,B,C$ から選ぶ位の個数をそれぞれ $a,b,c$ とする（$a+b+c=4$）。このとき $N\equiv a+2b+4c(\mathrm{mod}7)$ である。$a+b+c=4$ を満たす $15$ 通りの $(a,b,c)$ について $a+2b+4c$ を $7$ で割った余りを調べる。

• $(4,0,0):4$、$(0,4,0):8\equiv 1$、$(0,0,4):16\equiv 2$
• $(3,1,0):5$、$(3,0,1):7\equiv 0$、$(1,3,0):7\equiv 0$
• $(0,3,1):10\equiv 3$、$(1,0,3):13\equiv 6$、$(0,1,3):14\equiv 0$
• $(2,2,0):6$、$(2,0,2):10\equiv 3$、$(0,2,2):12\equiv 5$
• $(2,1,1):8\equiv 1$、$(1,2,1):9\equiv 2$、$(1,1,2):11\equiv 4$

よって条件を満たすのは $(a,b,c)=(3,0,1),(1,3,0),(0,1,3)$ の 3 通りだけである。どの場合も選び方は ${}_4{\mathrm{C}}_3\times {}_4{\mathrm{C}}_1=16$ 通りあるので、条件を満たす $N$ は全部で $48$ 個ある。

総和の計算

4 つの位から 3 つを選ぶ選び方 ${}_4{\mathrm{C}}_3=4$ 通りのうち、特定の位を含むものは ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通りである。したがって、ある組から 3 つを選ぶすべての選び方について値の和を合計すると、その組の値の和の $3$ 倍になる。

(i) $(3,0,1)$ の場合:$A$ から 3 つを選び、$C$ から 1 つを選ぶ。
- $A$ の部分の合計は、$3S_A$ に $C$ の選び方 $4$ 通りを掛けて $3\cdot 585\cdot 4=7020$。
- $C$ の部分の合計は、$S_C$ に $A$ の選び方 $4$ 通りを掛けて $2340\cdot 4=9360$。
- 合計は $16380$。

(ii) $(1,3,0)$ の場合:
- $A$ の部分の合計は $4S_A=2340$。
- $B$ の部分の合計は $3S_B\cdot 4=14040$。
- 合計は $16380$。

(iii) $(0,1,3)$ の場合:
- $B$ の部分の合計は $4S_B=4680$。
- $C$ の部分の合計は $3S_C\cdot 4=28080$。
- 合計は $32760$。

したがって、求める総和は
$$16380+16380+32760=65520$$
である。

$2^k\mathrm{mod}7$ は $k=0,1,2,\dots$ に対して $1,2,4$ を繰り返す。位置 $0$ から $11$ の 12 桁のうち、剰余が $1,2,4$ となる位置はそれぞれ 4 個ずつある。

剰余 $1,2,4$ の位置から選ぶ 1 の個数をそれぞれ $a,b,c$ とする。$a+b+c=4$ であり、$7$ で割り切れる条件は $a+2b+4c\equiv 0(\mathrm{mod}7)$ である。$a=4-b-c$ を代入すると $4+b+3c\equiv 0$、すなわち $b+3c\equiv 3(\mathrm{mod}7)$ となる。

$b+c\le 4$ の範囲で調べると、$(a,b,c)=(1,3,0),(3,0,1),(0,1,3)$ の 3 通りだけが条件を満たす。他の $c$ では $b$ が範囲外になる。

どの型も選び方は $4\cdot 4=16$ 通りである。

各剰余の位置の値の和は次のとおり。
- 剰余 1 の位置（$1,8,64,512$）: $S_1=585$
- 剰余 2 の位置（$2,16,128,1024$）: $S_2=1170$
- 剰余 4 の位置（$4,32,256,2048$）: $S_4=2340$

各クラスの各位置は、そのクラスから $a$（または $b$, $c$）個を選ぶ場合のうち $a/4$（または $b/4$, $c/4$）の割合で現れる。よって各型の総和は $16\cdot (a{S}_1+b{S}_2+c{S}_4)/4=4(a{S}_1+b{S}_2+c{S}_4)$ である。

• $(1,3,0)$: $4(585+3510)=4\cdot 4095=16380$
• $(3,0,1)$: $4(1755+2340)=4\cdot 4095=16380$
• $(0,1,3)$: $4(1170+7020)=4\cdot 8190=32760$

合計は $16380+16380+32760=65520$ である。

検算として、各型の総和を 7 で割ると $4095=7\cdot 585$、$8190=7\cdot 1170$ なので、総和は 7 の倍数となり矛盾しない。