有限構造の自己同型の個数

2 項関係記号 $E$ だけからなる言語の構造 $\mathcal{G}=(V,E^{\mathcal{G}})$ を、台集合 $V=\{1,2,3,4,5,6\}$、
$$E^{\mathcal{G}}=\{(a,b)\mid \{a,b\}\in \{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{1,5\},\{5,6\}\}\}$$
で定める（$E^{\mathcal{G}}$ は対称で、5 本の辺をもつ無向グラフを表す）。$\mathcal{G}$ の自己同型、すなわち全単射 $\sigma :V\to V$ であって、すべての $a,b\in V$ について $E(a,b)⟺E(\sigma (a),\sigma (b))$ を満たすものの個数を求めよ。

2 項関係記号 $E$ と 1 項関係記号 $P$ からなる一階の言語の構造 $\mathcal{M}=(A,E^{\mathcal{M}},P^{\mathcal{M}})$ を次で定める。
- 台集合 $A=\{0,1{\}}^3$（長さ $3$ の $0,1$ の列全体、$8$ 個の元）
- $E^{\mathcal{M}}(u,v)$ は「$u$ と $v$ がちょうど $1$ つの成分で異なる」ときに成り立つ
- $P^{\mathcal{M}}=\{(0,0,0),(1,1,1)\}$

$\mathcal{M}$ の自己同型（$A$ から $A$ への全単射 $\sigma$ で、すべての $u,v\in A$ について $E^{\mathcal{M}}(u,v)⟺E^{\mathcal{M}}(\sigma (u),\sigma (v))$ かつ $u\in P^{\mathcal{M}}⟺\sigma (u)\in P^{\mathcal{M}}$ をみたすもの）の個数を求めよ。

1 項関数記号 $f$ だけからなる一階の言語を考える。台集合 $A=\{1,2,\dots ,10\}$ 上の構造 $\mathcal{M}=(A,f^{\mathcal{M}})$ を、関数 $f^{\mathcal{M}}:A\to A$ の値が次の表で与えられるものとする。

$\mathcal{M}$ の自己同型、すなわち全単射 $\sigma :A\to A$ であって、すべての $x\in A$ について $\sigma (f^{\mathcal{M}}(x))=f^{\mathcal{M}}(\sigma (x))$ を満たすものは何個あるか。

2 項関係記号 $R$ だけからなる一階の言語（等号を含む）を考える。台集合 $A=\{1,2,\dots ,30\}$ 上の構造 $\mathcal{M}=(A,R^{\mathcal{M}})$ を $$R^{\mathcal{M}}=\{(a,b)\in A\times A:a\text{が}b\text{を割り切る}\}$$ で定める。$\mathcal{M}$ の自己同型、すなわち全単射 $\sigma :A\to A$ で、すべての $a,b\in A$ について $(a,b)\in R^{\mathcal{M}}⟺(\sigma (a),\sigma (b))\in R^{\mathcal{M}}$ を満たすものの個数を求めよ。

1 項関数記号 $f$ だけからなる一階の言語（等号を含む）の構造 $\mathcal{M}=(A,f^{\mathcal{M}})$ を、台集合 $A=\{1,2,\dots ,13\}$ と次の表で定める。

$\mathcal{M}$ の自己同型、すなわち全単射 $\sigma :A\to A$ で、すべての $a\in A$ に対して $\sigma (f^{\mathcal{M}}(a))=f^{\mathcal{M}}(\sigma (a))$ を満たすものの個数を求めよ。

2 項関係記号 $R$ だけからなる一階の言語（等号を含む）を考える。台集合 $D=\{1,2,\dots ,100\}$ 上の構造 $\mathcal{D}=(D,R^{\mathcal{D}})$ を、$a,b\in D$ に対して
$$R^{\mathcal{D}}(a,b)⟺a\text{ は }b\text{ を割り切る}$$
で定める。$\mathcal{D}$ の自己同型とは、全単射 $\sigma :D\to D$ であって、すべての $a,b\in D$ について $R^{\mathcal{D}}(a,b)⟺R^{\mathcal{D}}(\sigma (a),\sigma (b))$ を満たすもののことである。$\mathcal{D}$ の自己同型の個数（自己同型群 $\mathrm{Aut}(\mathcal{D})$ の位数）を求めよ。

$L$ を等号付きの一階の言語とする。$L$ は関係記号・関数記号・定数記号をいくつ含んでもよい（無限個でもよく、その濃度は任意とする）。$L$ 構造の台集合は空でないものとする。$L$ 構造 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ が初等同値である（$\mathcal{A}\equiv \mathcal{B}$）とは、すべての $L$ 文 $\phi$ について $\mathcal{A}\models \phi ⟺\mathcal{B}\models \phi$ が成り立つことをいう。

$\mathcal{A}$ の台集合が有限集合であり、$\mathcal{A}\equiv \mathcal{B}$ であるとき、$\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ は同型であることを証明せよ。

ただし、同型写像とは、台集合の間の全単射 $\sigma :A\to B$ で、各関係記号 $R$（$k$ 項）について $R^{\mathcal{A}}(a_1,\dots ,a_k)⟺R^{\mathcal{B}}(\sigma a_1,\dots ,\sigma a_k)$、各関数記号 $f$（$k$ 項）について $\sigma (f^{\mathcal{A}}(a_1,\dots ,a_k))=f^{\mathcal{B}}(\sigma a_1,\dots ,\sigma a_k)$、各定数記号 $c$ について $\sigma (c^{\mathcal{A}})=c^{\mathcal{B}}$ を満たすものをいう。コンパクト性定理は用いないこと。